Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.
Сложная
Алгебра
МОШ 2020, 11 класс, задача 2
Существует ли такая непериодическая функция f, определённая на всей числовой прямой, что при любом x выполнено равенство f(x+1)=f(x+1)f(x)+1?
Очень сложная
Алгебра
МОШ 2020, 11 класс, задача 3
В остроугольном треугольнике ABC (AB
Сложная
Планиметрия
МОШ 2020, 11 класс, задача 4
Из шахматной доски 8 × 8 вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как чёрные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?
Сложная
Комбинаторика
МОШ 2020, 11 класс, задача 5
Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты 1 × 1 и 100 × 100?
Очень сложная
Комбинаторика
МОШ 2020, 11 класс, задача 6
На доске написаны 2n последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больш
Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает,
Сложная
Алгебра
МОШ 2020, 11 класс, задача 2
Решите уравнение operatorname{tg}π x=[lg πx]-[lg [πx]], где [a] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее a.
Сложная
Алгебра
МОШ 2020, 11 класс, задача 3
За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее ч
Сложная
Комбинаторика
МОШ 2020, 11 класс, задача 4
На стороне AC треугольника ABC взяли такую точку D, что угол BDC равен углу ABC. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD, если BC = 1?
Очень сложная
Планиметрия
МОШ 2020, 11 класс, задача 5
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки -a и b. Известно, что a и b — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к -a, то он прыгает вправо на расстояние, равное a. Если же он находится в середине отрезка [-a;b] или в точк
Приведите пример такого квадратного трехчлена P(x), что при любом x справедливо равенство P(x)+P(x+1)+ldots+P(x+10)=x2.
Средняя
Алгебра
МОШ 2020, 10 класс, задача 2
Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее 3/7 фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.
Сложная
Комбинаторика
МОШ 2020, 10 класс, задача 3
Существует ли вписанный в окружность 19-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Сложная
Планиметрия
МОШ 2020, 10 класс, задача 4
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к BC пересекает AB и AC в точках X и Y. Прямая AO пересекает прямую BC в точке D, M — середина BC. Описанная окружность треугольника ADM пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке E, отличной от A. Докажите
Очень сложная
Планиметрия
МОШ 2020, 10 класс, задача 5
На доске написаны 1000 последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появ
Очень сложная
Комбинаторика
МОШ 2020, 10 класс, задача 6
Для каких k можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно k черных клеток, либо вовсе не было черных клеток?
Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0,1,2,ldots,9 поровну?
Средняя
Алгебра
МОШ 2020, 9 класс, задача 2
Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?
Средняя
Комбинаторика
МОШ 2020, 9 класс, задача 3
Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь
Средняя
Комбинаторика
МОШ 2020, 9 класс, задача 4
В остроугольном треугольнике ABC (AB
Сложная
Планиметрия
МОШ 2020, 9 класс, задача 5
К Ивану на день рождения пришли 3n гостей. У Ивана есть 3n цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по n штук каждого типа. Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так, чтобы длина каждого хоровода делилась на 3, и при взгляде на любой х
