МОШ 2020, 11 класс, задача 2

Очень сложная
Алгебра
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2020, 11 класс, Первый тур

Существует ли такая непериодическая функция , определённая на всей числовой прямой, что при любом выполнено равенство ?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. Нет, не существует.

Решение. Покажем, что любая функция, удовлетворяющая условиям, имеет период . Действительно, из уравнения следует, что не принимает значения . В самом деле, если , то , что невозможно. Следовательно, , поэтому, применяя последовательно это равенство, получаем

.

Похожие задачи

МОШ 2025, 9 класс, задача 5

У хозяйки есть кусок мяса, которым она хочет накормить трёх котиков. Раз в несколько секунд хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котиков на свой выбор, причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирае
Очень сложная
Алгебра

МОШ 2026, 9 класс, задача 5

Существует ли бесконечное множество S, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных x и y из S найдётся z из S (возможно, совпадающее с x или y), для которого x+y+z — квадрат натурального числа? (М. Евдокимов)
Очень сложная
Алгебра

МОШ 2024, 10 класс, задача 5

Будем называть натуральное число N сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен f(x) с целыми коэффициентами, что f(f(f(N)))=0, а f(N) и f(f(N)) не равны 0. Верно ли, что все числа, большие 2024, сильно кубические? (Д. Бродский)
Очень сложная
Алгебра

МОШ 2025, 10 класс, задача 4

Существуют ли такие натуральные числа m и n и такой многочлен f(x) с целыми коэффициентами, что f(m) не делится на n, но f(pk) делится на n для любого простого числа p и любого натурального k? (А. Волостнов, С. Гришин)
Очень сложная
Алгебра