Очень сложная
Алгебра
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2020, 11 класс, Первый тур

МОШ 2020, 11 класс, задача 2

Существует ли такая непериодическая функция , определённая на всей числовой прямой, что при любом выполнено равенство ?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Нет, не существует.

Решение. Покажем, что любая функция, удовлетворяющая условиям, имеет период . Действительно, из уравнения следует, что не принимает значения . В самом деле, если , то , что невозможно. Следовательно, , поэтому, применяя последовательно это равенство, получаем

.

Похожие задачи

МОШ 2025, 9 класс, задача 5

У хозяйки есть кусок мяса, которым она хочет накормить трёх котиков. Раз в несколько секунд хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котиков на свой выбор, причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирае
Очень сложная
Алгебра

МОШ 2026, 9 класс, задача 5

Существует ли бесконечное множество S, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных x и y из S найдётся z из S (возможно, совпадающее с x или y), для которого x+y+z — квадрат натурального числа? (М. Евдокимов)
Очень сложная
Алгебра

МОШ 2026, 11 класс, задача 5

Надя загадала многочлен P(x) с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен Q(x) с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта: • достигается ли максимальное значение P+Q, и если да, то чему оно равно; • достигается ли ми
Очень сложная
Алгебра

МОШ 2023, 9 класс, задача 4

Дано натуральное число n>1. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна n. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше n, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные)
Очень сложная
Алгебра