МОШ 2023, 9 класс, задача 4
Дано натуральное число . Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна . Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше , можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда — простое число.
Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.
(Т. Казицына)
Ответ
Решение. Сначала докажем, что если составное, то не любую дробь, знаменатель которой меньше , можно выразить. Если среди хороших дробей есть сократимые, то сократим их. Обозначим НОК знаменателей всех полученных после сокращения дробей через . Заметим, что знаменатели всех несократимых дробей, которые можно выразить, будут делителями . Действительно, для всех хороших дробей это утверждение верно, а знаменатели суммы или разности дробей, знаменатели которых делят , также будут делить .
Пусть делится на простое число , и натуральное число таково, что . Рассмотрим какую-нибудь хорошую дробь , у которой знаменатель делится на . Поскольку , то не делится на . Заметим, что делится на , поэтому дробь можно сократить на . После сокращения знаменатель не будет делиться на . Таким образом, не будет делиться на , следовательно, дробь выразить не получится.
Докажем, что если равно простому числу , то любую дробь, знаменатель которой меньше , можно выразить. Рассмотрим дробь , где . Так как простое, то числа и взаимно просты. Как известно, найдётся такое натуральное , что . Пусть для целого неотрицательного . Тогда
Таким образом, сложив хороших дробей и хороших дробей , получим дробь . Дробь представляется в виде суммы дробей , поэтому её также можно выразить.