К графикам функций y = cos x и y = aoperatorname{tg} x провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого a ne 0. (В. А. Клецын, Г. А. Мерзон)
Средняя
Алгебра
МОШ 2023, 11 класс, задача 2
Пусть ABCD — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка P выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников P AB и P CD имеют общую хорду, перпендикулярную AD. Докажите, что радиусы данных окружностей равны. (А. А. Заславский)
Сложная
Планиметрия
МОШ 2023, 11 класс, задача 3
Дан многочлен P(x) степени n > 5 с целыми коэффициентами, имеющий n различных целых корней. Докажите, что многочлен P(x)+3 имеет n различных действительных корней. (М. И. Малкин)
Очень сложная
Алгебра
МОШ 2023, 11 класс, задача 4
В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока упорным, если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей побед
Очень сложная
Комбинаторика
МОШ 2023, 11 класс, задача 5
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный? (М. А. Евдокимов)
Очень сложная
Стереометрия
МОШ 2023, 11 класс, задача 6
Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Дана бесконечная последовательность (an), состоящая из натуральных чисел. Известно, что a1 = a2 = 1 и при n > 2 число an — минимальное натуральное число такое, что
Дана строго возрастающая функция f: mathbb{N}0 to mathbb{N}0 (где mathbb{N}0 — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению f(n + f(m)) = f(n) + m + 1 для любых m, n ∈ mathbb{N}0. Найдите все значения, которые может принимать f
Очень сложная
Алгебра
МОШ 2023, 11 класс, задача 2
Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5? (М. А. Евдокимов)
Сложная
Комбинаторика
МОШ 2023, 11 класс, задача 3
В треугольнике ABC высоты BE и CF пересекаются в точке H, точка M — середина стороны BC, а X — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники BMF и CME. Докажите, что точки X, M и H лежат на одной прямой. (И. Н. Михайлов)
Очень сложная
Планиметрия
МОШ 2023, 11 класс, задача 4
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны operatorname{arctg} 1, operatorname{arctg}(1/2), operatorname{arctg}(1/3),..., operatorname{arctg}(1/50). Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равнове
Очень сложная
Комбинаторика
МОШ 2023, 11 класс, задача 5
В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что B√(P + T) ge 2P. Например, для тетраэдра (B = 4, P = 6, T = 3) выполняется равенство, а для треугольной призмы (B = 6, P = 9, T = 1
Про четыре целых числа a, b, c, d известно, что a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на 1. (А. Доледенок)
Средняя
Алгебра
МОШ 2023, 10 класс, задача 2
В эстафетном забеге Москва -- Петушки участвовали две команды по 20 человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на 20 не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных уч
Сложная
Комбинаторика
МОШ 2023, 10 класс, задача 3
Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)
Сложная
Алгебра
МОШ 2023, 10 класс, задача 4
На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3
Сложная
Планиметрия
МОШ 2023, 10 класс, задача 5
На плоскости даны две окружности ω1 и ω2, касающиеся внешним образом. На окружности ω1 выбран диаметр AB, а на окружности ω2 выбран диаметр CD. Рассмотрим всевозможные положения точек A, B, C и D, при которых ABCD -- выпуклый описанный четырёхугольник, и п
Очень сложная
Планиметрия
МОШ 2023, 10 класс, задача 6
На острове живут хамелеоны 5 цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется на один из этих 5 цветов по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что 2023 красных хамелеона могут договориться о последователь
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «+», «-», «×» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения (4-3) × (2+5)+1. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нес
Средняя
Алгебра
МОШ 2023, 9 класс, задача 2
Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) одну или несколько одинаковых букв или убрать из последовательности одну или несколько подряд идущих одинаковых букв.
Сложная
Комбинаторика
МОШ 2023, 9 класс, задача 3
Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)
Сложная
Планиметрия
МОШ 2023, 9 класс, задача 4
Дано натуральное число n>1. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна n. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше n, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные)
Очень сложная
Алгебра
МОШ 2023, 9 класс, задача 5
Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны. (А. Юран)
Очень сложная
Планиметрия
МОШ 2023, 9 класс, задача 6
Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность (an) строится следующим образом: a0=0, a1=1 и при n>1 число an — такое минимальное натуральное число, большее an-1, что среди чисел a
