МОШ 2023, 11 класс, задача 2
Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины ?
(М. А. Евдокимов)
Ответ. .
Решение. Приведём пример шести целых чисел, удовлетворяющих условию: . Числа образуют геометрическую прогрессию, а числа — арифметическую прогрессию.
Покажем, что никакие пять различных целых чисел не удовлетворяют условию задачи. Предположим противное: пусть найдутся пять целых чисел, одновременно образующих геометрическую прогрессию и, возможно, в другом порядке, арифметическую прогрессию. Тогда они имеют вид , где . Заметим, что и по определению геометрической прогрессии. Числа , , всегда одного знака и в арифметической прогрессии идут либо подряд при , либо через одного при . В любом случае должно выполняться равенство , т. е. , откуда , но тогда среди чисел есть равные. Противоречие. Следовательно, пяти чисел недостаточно.