МОШ 2021, 9 класс, задача 3
В узлах сетки клетчатого прямоугольника расположены 30 лампочек, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек (размерами лампочек следует пренебречь, считая их точками), такую, что с какой-то одной стороны от неё ни одна лампочка не горит, и зажечь все лампочки по эту сторону от прямой. Каждым ходом нужно зажигать хотя бы одну лампочку. Можно ли зажечь все лампочки ровно за четыре хода?
(А. Шаповалов)
Ответ
Ответ. да.
Решение. Проведём вспомогательную прямую через две лампочки в противоположных углах прямоугольника. Тогда ни одна другая лампочка на эту прямую не попадет. Теперь проведём первую прямую параллельно вспомогательной, чуть ниже, чтобы эти две лампочки оказались над ней, а все остальные лампочки остались с той же стороны, что и до этого; зажжём все лампочки ниже этой прямой, как на первом рисунке (зажигаемые лампочки обозначены чёрными точками). Вторую прямую аналогично проведём параллельно вспомогательной, но чуть выше, чтобы две угловые лампочки оказались под ней; зажжём все лампочки выше этой прямой, как на втором рисунке.
Незажжёнными остались две угловые лампочки. Их можно зажечь за два хода, просто отсекая прямой от остальных.
