Заключительный этап

11 класс

Первый тур

МОШ 2021, 11 класс, задача 1

На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую — то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0? (М. А. Евдокимов)

Средняя

Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 2

Существует ли функция f, определённая на отрезке [-1; 1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству 2f(cos x)=f(sin x)+sin x? (Д. В. Горяшин)

Сложная

Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 3

Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Точки X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника MXY касается окружност

Сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 11 класс, задача 4

В некоторой стране есть 100 городов, которые связаны такой сетью дорог, что из любого города в любой другой можно проехать только одним способом без разворотов. Схема сети дорог известна, развилки и перекрестки сети необязательно являются городами, всякая тупиковая ветвь сети обязательно заканчивает

Очень сложная

Комбинаторика

МОШ 2021, 11 класс, задача 5

Многогранник с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь? (М. А. Евдокимов)

Сложная

Стереометрия

МОШ 2021, 11 класс, задача 6

Существует ли такое число A, что для любого натурального n расстояние от верхней целой части Aⁿ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2? (Д. Креков)

Очень сложная

Алгебра

Второй тур

МОШ 2021, 11 класс, задача 1

Многочлен P(x)=x³+ax²+bx+c имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что c>ab. (Фольклор)

Сложная

Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 2

В остроугольном треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности. Точка B₁ симметрична точке B относительно стороны AC. Прямые AO и B₁C пересекаются в точке K. Докажите, что луч KA является биссектрисой угла BKB₁. (М. А. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 11 класс, задача 3

Найдите наименьшее натуральное число N>9, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то получится число, которое делится на 7. (М. А. Евдокимов)

Средняя

Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 4

Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию? (О. Н. Косухин)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 11 класс, задача 5

В лаборатории есть 120 пробирок с жидкостями. В одной из них находится яд, а в другой — противоядие. Если в смесь попал яд, но не попало противоядие, она становится ядовитой, если противоядие, но не яд — целебной, а если попали и яд, и противоядие или ни то, ни другое — нейтральной. Можно ли, отправ

Очень сложная

Комбинаторика

10 класс

Первый тур

МОШ 2021, 10 класс, задача 1

Средняя

Алгебра

МОШ 2021, 10 класс, задача 2

Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем 60^circ. (А. Блинков)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 10 класс, задача 3

Есть бесконечная в одну сторону клетчатая полоска, клетки которой пронумерованы натуральными числами, и мешок с десятью камнями. В клетках полоски камней изначально нет. Можно делать следующее: — перемещать камень из мешка в первую клетку полоски или обратно; — если в клетке с номером i лежит камень

Очень сложная

Комбинаторика

МОШ 2021, 10 класс, задача 4

Внутри четырехугольника ABCD взяли точку P. Прямые BC и AD пересекаются в точке X. Оказалось, что прямая XP является внешней биссектрисой углов APD и BPC. Пусть PY и PZ — биссектрисы треугольников APB и DPC. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой. (Ф. Нилов)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 10 класс, задача 5

Пусть p и q — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0, каждый раз либо на p вправо, либо на q влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального d

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2021, 10 класс, задача 6

Верхней целой частью числа x называют наименьшее целое число, большее или равное x. Докажите, что существует такое вещественное число A, что для любого натурального n расстояние от верхней целой части Aⁿ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2. (Д. Креков)

Очень сложная

Алгебра

9 класс

Первый тур

МОШ 2021, 9 класс, задача 1

Положительные числа a и b таковы, что a-b=a/b. Что больше, a+b или ab? (В. Клепцын, А. Гусев)

Средняя

Алгебра

МОШ 2021, 9 класс, задача 2

Клетки бумажного квадрата 8 × 8 раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата 2 × 2, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.) (Л. Попов, А. Гусев)

Средняя

Комбинаторика

МОШ 2021, 9 класс, задача 3

В узлах сетки клетчатого прямоугольника 4 × 5 расположены 30 лампочек, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек (размерами лампочек следует пренебречь, считая их точками), такую, что с какой-то одной стороны от неё ни одна лампочка не горит, и заж

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2021, 9 класс, задача 4

Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает сторону AB в точке D, а сторону AC— в точке E. Пусть X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника MXY, касается ω

Сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 9 класс, задача 5

В ряд лежат 100N бутербродов, каждый с колбасой и сыром. Дядя Фёдор и кот Матроскин играют в игру. Дядя Фёдор за одно действие съедает один бутерброд с одного из краёв. Кот Матроскин за одно действие может стянуть колбасу с одного бутерброда (а может ничего не делать). Дядя Фёдор каждый ход делает п

Очень сложная

Комбинаторика

МОШ 2021, 9 класс, задача 6

Пусть p и q— взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0, каждый раз либо на p вправо, либо на q влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального d < p + q найдутся два числа, посещённые лягушкой и отличающиеся на d. (Н. Белухов

Очень сложная

Алгебра