МОШ 2021, 10 класс, задача 4

Внутри четырехугольника взяли точку . Прямые и пересекаются в точке . Оказалось, что прямая является внешней биссектрисой углов и . Пусть и — биссектрисы треугольников и . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.

(Ф. Нилов)

Ответ

Первое решение.

Рисунок к первому решению задачи 4

Рассмотрим и внешнюю биссектрису угла , и биссектрису угла , и биссектрису угла , и внешнюю биссектрису угла . Из свойства биссектрисы

Пусть прямая пересекает отрезок в точке . Используя теорему Менелая для треугольника и прямой , получаем:

Применяя теорему Менелая для треугольника , получаем, что точки , , лежат на одной прямой. Остается вспомнить, что точка тоже лежит на этой прямой.

Второе решение.

Рисунок ко второму решению задачи 4

Пусть прямая пересекает и в точках и соответственно. По условию , , , . Запишем равенства двойных отношений (см. например ):

Значит, прямые и совпадают, что и требовалось.

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 5

На плоскости даны две окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом. На окружности ω₁ выбран диаметр AB, а на окружности ω₂ выбран диаметр CD. Рассмотрим всевозможные положения точек A, B, C и D, при которых ABCD -- выпуклый описанный четырёхугольник, и п

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 11 класс, задача 3

В треугольнике ABC высоты BE и CF пересекаются в точке H, точка M — середина стороны BC, а X — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники BMF и CME. Докажите, что точки X, M и H лежат на одной прямой. (И. Н. Михайлов)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 11 класс, задача 4

Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию? (О. Н. Косухин)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 10 класс, задача 4

На стороне BC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что BD=DE=CE. На отрезках AB, AC, AE и AD выбраны точки L, K, P и Q (все точки A, B, C, D, E, K, L, P, Q различные) соответственно так, что angle EAD=angle PDE=angle QED=angle AKP=angle ALQ. Докажите, что LK+DEle AD+AE.

Очень сложная

Планиметрия