МОШ 2021, 10 класс, задача 4

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2021, 10 класс

Внутри четырехугольника взяли точку . Прямые и пересекаются в точке . Оказалось, что прямая является внешней биссектрисой углов и . Пусть и — биссектрисы треугольников и . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.

(Ф. Нилов)

Первое решение.

Рисунок к первому решению задачи 4


Рассмотрим и внешнюю биссектрису угла , и биссектрису угла , и биссектрису угла , и внешнюю биссектрису угла . Из свойства биссектрисы

Пусть прямая пересекает отрезок в точке . Используя теорему Менелая для треугольника и прямой , получаем:

Применяя теорему Менелая для треугольника , получаем, что точки , , лежат на одной прямой. Остается вспомнить, что точка тоже лежит на этой прямой.

Второе решение.

Рисунок ко второму решению задачи 4


Пусть прямая пересекает и в точках и соответственно. По условию , , , . Запишем равенства двойных отношений (см. например ):

Значит, прямые и совпадают, что и требовалось.

Похожие задачи

МОШ 2021, 11 класс, задача 4

Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию? (О. Н. Косухин)
Очень сложная
Планиметрия

МОШ 2025, 11 класс, задача 6

Петя красит каждую клетку доски 22 × 22 в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на двухклеточные доминошки. Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше разноцветных доминошек, а Вася — к тому, чтобы их получи
Очень сложная
Планиметрия

МОШ 2025, 9 класс, задача 6

Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Биссектриса угла CBH пересекает отрезок CH в точке X, биссектриса угла BCH пересекает отрезок BH в точке Y. Обозначим величину угла XA1Y через α. Аналогично определим β и γ. Найди
Очень сложная
Планиметрия

МОШ 2025, 10 класс, задача 6

Около таверны стоят 100 эльфов, 100 гномов и 100 орков. Сначала в неё заходят 10 эльфов, 10 гномов и 10 орков. Затем каждую минуту из неё выходит одно существо и тут же заходит другое, причём всегда после выхода эльфа заходит гном, после выхода гнома — орк, а после выхода орка — эльф. Могло ли оказа
Очень сложная
Планиметрия