МОШ 2021, 11 класс, задача 4
Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?
(О. Н. Косухин)
Ответ: да.
Решение.
Пусть — некоторое положительное число. Треугольник со сторонами , и существует тогда и только тогда, когда выполняются три неравенства:
Первое из этих неравенств выполнено при , второе — при всех положительных , третье — при , где
— так называемое «золотое сечение», положительный корень квадратного уравнения . Следовательно, треугольник с такими сторонами существует при . При таких же существует треугольник со сторонами , и . Пусть далее значение принадлежит отрезку
В декартовой системе координат отметим точки , , точку в полуплоскости , для которой и , а также точку в полуплоскости , для которой и (см. рис. --). По доказанному выше такие точки существуют для всех . Кроме того, треугольники и подобны по трём пропорциональным сторонам. Значит, и . Поскольку , угол , лежащий напротив стороны треугольника , меньше . Отсюда получаем, что и
Следовательно, — выпуклый четырёхугольник при всех указанных значениях .
Пусть точка имеет координаты , тогда и . Из этих уравнений получаем
Эти выражения непрерывно зависят от на отрезке . Аналогично доказывается, что координаты точки также непрерывно зависят от на этом отрезке. Следовательно, длина диагонали четырёхугольника , равная , также непрерывно зависит от на этом отрезке.
При треугольники и являются равносторонними со стороной , поэтому . При получаем
Значит, непрерывная на отрезке функция принимает в концах этого отрезка значения разных знаков:
и
Поэтому найдётся такое значение , при котором и, следовательно,
Таким образом, искомый четырёхугольник существует.