МОШ 2021, 11 класс, задача 3
Найдите наименьшее натуральное число , которое не делится на , но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то получится число, которое делится на .
(М. А. Евдокимов)
Ответ: .
Решение.
Пусть наименьшее такое число имеет вид . Из условия следует, что среди его цифр нет и . Если в числе есть цифры или , то их можно заменить на или соответственно и получить меньшее число с тем же свойством. Таким образом, искомое число состоит из цифр от до .
Рассмотрим и . По условию числа и делятся на , следовательно, их разность также кратна , то есть
для любого . Значит, запись числа может быть устроена только следующим образом: за следует , за следует (поскольку цифры в числе нет) и так далее (см. рис. --).
По условию исходное число, у которого вместо последней цифры стоит , делится на . Следовательно, исходное число без последней цифры делится на . Используя несколько раз сравнение , получаем:
Поскольку не делится на , заключаем, что делится на , поэтому наименьшее возможное равно . Таким образом, наименьшее возможное число состоит не менее чем из восьми знаков. Остаётся заметить, что число удовлетворяет условию задачи, а поскольку оно начинается с , то это число и будет наименьшим.