МОШ 2024, 11 класс, задача 1

Средняя

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 11 класс, Первый тур

У математика есть различных гирь, массы которых в килограммах равны , и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?

(М. Евдокимов)

Ответ: .

Решение. Сумма логарифмов положительных чисел равна логарифму их произведения, поэтому будем уравнивать произведения двух непересекающихся наборов чисел из множества .

Разложим натуральные числа от до на простые множители:

Числа , , , встречаются в этих разложениях ровно по одному разу, поэтому их следует исключить. Таким образом, более гирь оказаться на весах не может.

Покажем, что можно уравновесить гирь. Заметим, что простые множители , , и встречаются в выписанных разложениях чётное число раз (, , и соответственно). Приведём один из возможных примеров равенства произведений:

Похожие задачи

МОШ 2021, 11 класс, задача 3

Найдите наименьшее натуральное число N>9, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то получится число, которое делится на 7. (М. А. Евдокимов)

Средняя

Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 1

На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую — то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0? (М. А. Евдокимов)

Средняя

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 1

В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет 100 предметов. А если, наоборот, он увеличит в эт

Средняя

Алгебра