МОШ 2022, 11 класс, задача 1
В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет предметов. А если, наоборот, он увеличит в это же число раз первоначальное количество значков, оставив прежним количество браслетов, то у него будет предмет. Сколько значков и сколько браслетов могло быть в коллекции Алика?
(А. И. Галочкин)
Решение. Пусть у Алика значков и браслетов, а увеличение происходит в раз. Тогда получаем систему
Складывая и вычитая уравнения и исключая , получим
Это уравнение преобразуем к виду
где , — натуральные числа.
Возможны два случая:
- , , тогда , , .
- , , тогда , , .
Ответ. значка и браслета, либо значков и браслета.