МОШ 2025, 11 класс, задача 2
Дана последовательность для всех натуральных . Найдите сумму первых членов этой последовательности.
(М. Лисицын)
Ответ: .
Решение. Первый способ. Представим в виде
Тогда получаем
Второй способ. Перейдём к более общей задаче: будем рассматривать последовательности , где — фиксированное натуральное число, а — номер члена последовательности, и искать сумму первых членов таких последовательностей.
При получаем, что сумма равна .
При получаем, что сумма равна . Аналогично можно получить, что при сумма равна . Возникающую гипотезу о том, что при произвольном искомая сумма равна , нужно строго доказать. Это можно сделать методом математической индукции.
База индукции уже проверена. Из предположения о том, что , требуется вывести . Заметим, что
Следовательно,
что и требовалось доказать.