МОШ 2025, 11 класс, задача 2

Ответ: .

Решение. Первый способ. Представим в виде

Тогда получаем

Второй способ. Перейдём к более общей задаче: будем рассматривать последовательности , где — фиксированное натуральное число, а — номер члена последовательности, и искать сумму первых членов таких последовательностей.

При получаем, что сумма равна .

При получаем, что сумма равна . Аналогично можно получить, что при сумма равна . Возникающую гипотезу о том, что при произвольном искомая сумма равна , нужно строго доказать. Это можно сделать методом математической индукции.

База индукции уже проверена. Из предположения о том, что , требуется вывести . Заметим, что

Следовательно,

что и требовалось доказать.