МОШ 2021, 10 класс, задача 1
На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на , а если первую — то на . Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна ?
(М. Евдокимов)
Ответ: .
Решение. Предпоследняя цифра числа равна , так как число без последней цифры делится на . Значит, число хотя бы четырёхзначное. Заметим, что число, оставшееся после стирания последней цифры, не может равняться по условию. Также это число не может равняться и , так как числа вида и не делятся на . Для существует единственный пример: .