Заключительный этап

11 класс

Первый тур

МОШ 2022, 11 класс, задача 1

В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет 100 предметов. А если, наоборот, он увеличит в эт

Средняя

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 2

В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям x и y) нарисовали график показательной функции y=3^x. Затем ось y и все отметки на оси x стёрли. Остались лишь график функции и ось x без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось y?

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 3

В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AL. На продолжении отрезка LA за точку A выбрана точка K так, что AK=AL. Описанные окружности треугольников BLK и CLK пересекают отрезки AC и AB в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямые PQ и BC параллельны. (Д. Ю. Бродский)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 11 класс, задача 4

Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии a от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий си

Очень сложная

Стереометрия

МОШ 2022, 11 класс, задача 5

Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале (0;1)? (А. Я. Канель-Белов)

Очень сложная

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 6

Султан собрал 300 придворных мудрецов и предложил им испытание. Имеются колпаки 25 различных цветов, заранее известных мудрецам. Султан сообщил, что на каждого из мудрецов наденут один из этих колпаков, причём если для каждого цвета написать количество надетых колпаков, то все числа будут различны.

Очень сложная

Комбинаторика

Второй тур

МОШ 2022, 11 класс, задача 1

Некоторые неотрицательные числа a, b, c удовлетворяют равенству a+b+c=2√(abc). Докажите, что bcge b+c. (Д. В. Горяшин)

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 2

Волейбольный чемпионат с участием 16 команд проходил в один круг (каждая команда играла с каждой ровно один раз, ничьих в волейболе не бывает). Оказалось, что какие-то две команды одержали одинаковое число побед. Докажите, что найдутся три команды, которые выиграли друг у друга по кругу (то есть A в

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2022, 11 класс, задача 3

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника? (М. А. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 11 класс, задача 4

В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых нач

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 11 класс, задача 5

Таня последовательно выписывала числа вида n⁷-1 для натуральных чисел n=2,3,ldots и заметила, что при n=8 полученное число делится на 337. А при каком наименьшем n>1 она получит число, делящееся на 2022? (Т. А. Гарманова)

Сложная

Алгебра

10 класс

Первый тур

МОШ 2022, 10 класс, задача 1

Найдите наибольшее натуральное n, обладающее следующим свойством: для любого простого нечётного p, меньшего n, разность n-p также является простым числом. (И. Акулич)

Средняя

Алгебра

МОШ 2022, 10 класс, задача 2

Точки M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Касательная ell к описанной окружности треугольника ABC в точке A пересекает прямую BC в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника MKN касается ell. (Д. Бродский)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 10 класс, задача 3

Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2022, 10 класс, задача 4

Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале (0,1)? (А. Канель-Белов)

Очень сложная

Алгебра

МОШ 2022, 10 класс, задача 5

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны. Рисунок к условию задачи 5 (А. Кушнир)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 10 класс, задача 6

Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины 2022, состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никак

Очень сложная

Комбинаторика

9 класс

Первый тур

МОШ 2022, 9 класс, задача 1

У каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n,..., 9n выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном n среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных? (А. Толпыго)

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 9 класс, задача 2

Прямоугольники ABCD и DEFG расположены так, что точка D лежит на отрезке BF, а точки B, C, E, F лежат на одной окружности (см. рисунок). Докажите, что angle ACE = angle CEG. Рисунок к условию задачи 2 (Е. Бакаев)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 9 класс, задача 3

Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число t > 1 (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в t раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет 100 предметов. Если вместо этого

Средняя

Алгебра

МОШ 2022, 9 класс, задача 4

Некоторые клетки доски 100 × 100 покрашены в чёрный цвет. Во всех строках и столбцах, где есть чёрные клетки, их количество нечётно. В каждой строке, где есть чёрные клетки, поставим красную фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. В каждом столбце, где есть чёрные клетки, поставим синюю фишку в сред

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2022, 9 класс, задача 5

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 9 класс, задача 6

Даны выпуклый многоугольник M и простое число p. Оказалось, что существует ровно p способов разбить M на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1. Докажите, что длина одной из сторон многоугольника M равна p-1. (Н. Белухов)

Очень сложная

Комбинаторика