МОШ 2022, 9 класс, задача 2

Прямоугольники и расположены так, что точка лежит на отрезке , а точки , , , лежат на одной окружности (см. рисунок). Докажите, что .

Рисунок к условию задачи 2

(Е. Бакаев)

Ответ

Решение. Так как точки , , , лежат на одной окружности, то

Аналогично

Поскольку и — прямоугольники, то и . Тогда выражения в левых частях равенств и равны, поэтому .

Рис. 1: к решению задачи 2

Похожие задачи

МОШ 2024, 11 класс, задача 2

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH. Точки M и N -- середины отрезков BH и CH. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек M и N на прямые AB и AC соответственно, равноудалена от точек B и C. (И. Михайлов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2025, 10 класс, задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. Окружность, проходящая через точки C и H, повторно пересекает отрезки AC, CB и BH в точках Q, P и R соответственно. Отрезки HP и CR пересекаются в точке T. Что больше: площадь треугольника CPT или сумма площадей треугольников CQH и

Сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 10 класс, задача 1

Дан остроугольный треугольник ABC. На его описанной окружности отмечена точка D, диаметрально противоположная вершине A. Точки X и Y на стороне BC таковы, что BX=XD и CY=YD (точка X лежит на отрезке BY). Докажите, что DA — биссектриса угла XDY.

Сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 10 класс, задача 4

На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3

Сложная

Планиметрия