МОШ 2024, 11 класс, задача 2

Решение. Первый способ. Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек и на прямые и соответственно, через , а точки, симметричные и относительно прямых и , через и . Тогда прямые и -- серединные перпендикуляры к отрезкам и , поэтому достаточно доказать, что четырёхугольник -- вписанный. Заметим, что и содержат средние линии треугольников и , параллельные сторонам и соответственно. Значит, , . Четырёхугольник вписан в окружность, построенную на как на диаметре, поэтому по свойству вписанных углов. При этом . Значит, четырёхугольник вписанный, что и требовалось доказать.

Второй способ. Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек и на прямые и соответственно, через , а середины сторон и треугольника через и . Отрезки и являются средними линиями треугольников и , параллельными общей стороне этих треугольников. Поэтому отрезки и равны, параллельны и оба перпендикулярны прямой . Параллельно перенесём точку на вектор и обозначим полученную точку . Тогда четырёхугольники и являются параллелограммами. Поэтому прямая параллельна прямой , а значит, перпендикулярна . Аналогично прямая перпендикулярна . Тогда является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и треугольника , т. е. совпадает с центром окружности, описанной около треугольника . В частности, точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку . Следовательно, точка также лежит на серединном перпендикуляре к , так как по построению.

Третий способ. Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек и на прямые и соответственно, через , а точку пересечения высот треугольника -- через . Тогда заметим, что треугольники и подобны по двум углам. Действительно, . Аналогично, выполнено равенство . Также заметим, что коэффициент подобия этих треугольников равен , поскольку . Опустим из перпендикуляр на . Тогда из доказанного подобия следует, что , т. е. . Следовательно, , а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку , откуда следует требуемое.