МОШ 2023, 9 класс, задача 3
Периметр треугольника равен . Окружность касается стороны , продолжения стороны в точке и продолжения стороны в точке . Прямая, проходящая через середины и , пересекает описанную окружность треугольника в точках и . Найдите длину отрезка .
(Д. Бродский)
Ответ. .
Решение 1. Обозначим точку касания с отрезком через . Рассмотрим отрезки и . С одной стороны, они равны. С другой стороны, и , поэтому
Следовательно, длины отрезков и равны половине периметра треугольника .
Обозначим середины отрезков и через и соответственно. Отметим точки и на прямой так, что и (см. рис. 1). Заметим, что длина отрезка также равна половине периметра треугольника , то есть . Но , откуда . Следовательно, и — равнобедренные треугольники, откуда — равнобокая трапеция.
Как известно, равнобокую трапецию можно вписать в окружность, поэтому точка лежит на описанной окружности треугольника . Аналогично точка лежит на , поэтому описана около треугольника . Следовательно, , и .
Решение 2. Отметим точку — центр окружности . Поскольку , то точки , , , лежат на одной окружности , построенной на отрезке как на диаметре. Обозначим через и середины отрезков и соответственно, а за и — точки пересечения прямых и с прямой соответственно. Докажем, что и лежат на .
Заметим, что углы и равны как вертикальные, углы и равны, так как прямые и параллельны. Но — биссектриса угла , поэтому , то есть треугольник равнобедренный и . В треугольнике медиана равна половине стороны, поэтому этот треугольник прямоугольный с прямым углом . Таким образом, , то есть лежит на , поэтому . Аналогично треугольник прямоугольный и . Тогда .
Замечание. По сути, в решении доказан известный факт, что проекция вершины на биссектрису внутреннего или внешнего угла лежит на средней линии треугольника.
Решение 3. В обозначениях предыдущего решения обозначим через , и половины длин сторон , и соответственно, а через и — длины отрезков и соответственно. Запишем степени точек и относительно двумя способами:
Вычтем второе уравнение из первого:
Подставим в первое уравнение системы:
По теореме Виета у полученного квадратного уравнения относительно два корня: и . Так как положительно, то . Аналогично . Отсюда .
Решение 4. Как и во втором решении, заметим, что окружность построена на как на диаметре. Обозначим через образ окружности при гомотетии с центром и коэффициентом . Поскольку — диаметр , то окружности и имеют общий центр.
При той же гомотетии треугольник переходит в треугольник , поэтому будет касаться прямых , и . Таким образом, , и — три хорды окружности , касающиеся концентрической окружности . Значит, их длины равны. Как доказано в первом решении, длина отрезка равна половине периметра треугольника , поэтому и длина равна половине периметра, то есть .