МОШ 2021, 11 класс, задача 3
Точка — середина стороны треугольника . Окружность проходит через точку , касается прямой в точке и пересекает стороны и в точках и соответственно. Точки и — середины отрезков и соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника касается окружности .
(А. В. Доледенок)
Решение. Заметим, что и -- средние линии треугольников и (рис. ), поэтому и . Тогда
.
По свойству касательной и секущей к окружности имеем , откуда
.
Аналогично получаем . Деля одно на другое и пользуясь , находим
.
Получаем, что треугольники и подобны по углу и отношению прилежащих сторон.
Лемма (обратная теорема об угле между касательной и хордой). Пусть в треугольнике угол равен углу между отрезком и прямой , проходящей через , как на рис. . Тогда прямая касается описанной окружности треугольника .
Доказательство леммы. Проведём прямую , касающуюся окружности в точке . Тогда по теореме об угле между хордой и касательной угол между прямой и отрезком тоже равен углу треугольника. Отсюда следует, что и совпадают. Лемма доказана.
Тогда . Получается, что в описанной окружности треугольника угол, опирающийся на хорду , равен углу между хордой и прямой . Используя лемму, заключаем, что прямая касается окружности, описанной вокруг треугольника . Это и означает, что рассматриваемые окружности касаются.