Заключительный этап

11 класс

Первый тур

МОШ 2024, 11 класс, задача 1

У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны ln 2, ln 3, ln 4, ldots, ln 20, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах? (М. Евдокимов)

Средняя

Алгебра

МОШ 2024, 11 класс, задача 2

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH. Точки M и N -- середины отрезков BH и CH. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек M и N на прямые AB и AC соответственно, равноудалена от точек B и C. (И. Михайлов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2024, 11 класс, задача 3

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы н

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2024, 11 класс, задача 4

Дан многочлен степени nge 1 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули всех коэффициентов этого многочлена не превосходят 2. (Л. Шатунов)

Очень сложная

Алгебра

МОШ 2024, 11 класс, задача 5

В тетраэдре ABCD скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка AH_A, где H_A -- точка пересечения высот грани BCD, провели прямую h_A перпендикулярно плоскости BCD. Аналогичным образом определили точки H_B, H_C, H_D и построили

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2024, 11 класс, задача 6

Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты -- до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мел

Очень сложная

Комбинаторика

Второй тур

МОШ 2024, 11 класс, задача 1

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции f(x)=frac1{2^x+1}? (Д. В. Горяшин)

Средняя

Алгебра

МОШ 2024, 11 класс, задача 2

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60% от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпи

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2024, 11 класс, задача 3

Докажите, что если при n∈mathbb N число 2+2√(12n²+1) целое, то оно -- точный квадрат. (Т. А. Гарманова)

Сложная

Алгебра

МОШ 2024, 11 класс, задача 4

В остроугольном треугольнике ABC высоты AH_A, BH_B и CH_C пересекаются в точке H. Через точки, в которых окружность радиуса HH_A с центром H пересекает отрезки BH и CH, проведена прямая ell_A. Аналогично проведены прямые ell_B и ell_{C
Очень сложная
Планиметрия}

МОШ 2024, 11 класс, задача 5

Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску 100 × 100 на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый -- на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из р

Очень сложная

Комбинаторика

10 класс

Первый тур

МОШ 2024, 10 класс, задача 1

Петя и Вася играют на отрезке [0;1], в котором отмечены точки 0 и 1. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложи

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2024, 10 класс, задача 2

Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника. (А. Юран)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2024, 10 класс, задача 3

В клуб любителей гиперграфов в начале года записались n попарно незнакомых школьников. За год клуб провёл 100 заседаний, причём каждое заседание посетил хотя бы один школьник. Два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. В конце года оказалось, что количеств

Очень сложная

Комбинаторика

МОШ 2024, 10 класс, задача 4

Дан описанный четырёхугольник ABCD с тупым углом ABC. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи DA и CB — в точке Q. Докажите, что |AD-CD|ge |r₁-r₂|, где r₁ и r₂ — радиусы вписанных окружностей треугольников PBC и QAB. (Л. Шатунов)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2024, 10 класс, задача 5

Будем называть натуральное число N сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен f(x) с целыми коэффициентами, что f(f(f(N)))=0, а f(N) и f(f(N)) не равны 0. Верно ли, что все числа, большие 20²⁴, сильно кубические? (Д. Бродский)

Очень сложная

Алгебра

МОШ 2024, 10 класс, задача 6

На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального k от 1 до 99 сумма чисел на k верхних карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исх

Очень сложная

Комбинаторика

9 класс

Первый тур

МОШ 2024, 9 класс, задача 1

Действительные числа a,b,c,d таковы, что frac ab+frac ba=frac cd+frac dc. Докажите, что произведение каких-то двух чисел из a,b,c,d равно произведению двух других. (А. Доледенок, В. Ретинский)

Средняя

Алгебра

МОШ 2024, 9 класс, задача 2

На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)? (

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2024, 9 класс, задача 3

Петя загадал положительную несократимую дробь x=frac mn. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь y, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме x+y. Как Васе за два хода гарантированно узнать x? (М. Дидин)

Сложная

Алгебра

МОШ 2024, 9 класс, задача 4

На описанной окружности треугольника ABC отметили середины дуг BAC и CBA — точки M и N соответственно, и середины дуг BC и AC — точки P и Q соответственно. Окружность ω₁ касается стороны BC в точке A₁ и продолжений сторон AC и AB. Окружность ω₂ касается стороны AC в

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2024, 9 класс, задача 5

В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2024, 9 класс, задача 6

На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального k от 1 до 99 сумма чисел на верхних k карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исх

Очень сложная

Комбинаторика