МОШ 2024, 9 класс, задача 6
На каждой из карточек написано действительное число. Все чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из карточек называется неудачной, если для каждого натурального от до сумма чисел на верхних карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
(А. Кушнир)
Ответ: .
Решение. Пример. Пусть на карточках написаны числа . Тогда в неудачной стопке карточка должна находиться сверху, а остальные карточки можно расположить любым из способов. В этом случае всякая сумма чисел на нескольких верхних карточках будет иметь вид , где — натуральное число, то есть будет иррациональна.
Оценка. Разобьём все стопки карточек на групп, в каждой из которых одна стопка получается из другой циклической перестановкой (то есть перекладыванием нескольких верхних карточек вниз стопки). Каждая группа состоит из стопок. Докажем, что каждая группа содержит хотя бы одну неудачную стопку.
Предположим, что нашлась группа без неудачных стопок. Выберем одну из стопок и расположим карточки из неё по кругу в том же порядке, в котором они лежат в стопке: . Тогда все стопки из группы будут иметь вид для от до .
Начнём идти от карточки по часовой стрелке до тех пор, пока сумма чисел на пройденных карточках не станет рациональной. Далее начнём идти от до тех пор, пока сумма чисел на пройденных карточках не станет рациональной. Такой момент настанет, потому что соответствующая стопка, начинающаяся с , не является неудачной. Проделаем описанную операцию раз. По принципу Дирихле найдётся карточка , с которой начинали отсчитывать сумму хотя бы дважды. Оставим только шаги процесса между первым и вторым отсчитыванием от карточки (включая первое, но не включая второе).
Посмотрим на сумму пройденных чисел (каждое число считается столько раз, сколько его прошли). С одной стороны, рационально, так как мы брали отрезки карточек с рациональной суммой. С другой стороны, мы начали с карточки , а закончили карточкой , то есть прошли несколько полных кругов. Из этого следует, что сумма всех пройденных чисел будет равна , где — количество пройденных кругов, а — сумма чисел на всех карточках. Однако по условию иррационально, откуда также иррационально. Противоречие.
Таким образом, в каждой группе есть хотя бы одна неудачная стопка. Тогда общее количество неудачных стопок не меньше, чем .
Замечение. Существуют и другие примеры. Например, можно взять карточки
Назовём первые карточек положительными, а остальные — отрицательными. В неудачной стопке, состоящей из этих карточек, первая карточка должна быть положительной, и для любого среди первых карточек положительных карточек должно быть больше, чем отрицательных. Количество неудачных стопок в этом случае также будет равно .