МОШ 2024, 10 класс, задача 5
Будем называть натуральное число сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен с целыми коэффициентами, что , а и не равны . Верно ли, что все числа, большие , сильно кубические?
(Д. Бродский)
Ответ. Нет, неверно.
Решение. Пусть , . Для простоты перейдём к рассмотрению квадратного трёхчлена
для него также верно , , , при этом его коэффициенты целые (скажем, ).
Заметим, что и различны и не совпадают с , иначе мы бы получили противоречие с условием . Так как для натуральных и выполнено , то , поэтому имеют место следующие делимости:
Прибавляя к левой части первой строчки , получаем , что вкупе с третьей строкой даёт . Так как разности и тоже делятся на , приходим к выводу, что является общим делителем , и . Обозначим , , , для них верны делимости, аналогичные . Также заметим, что из следует делимость на (обозначим ). Это наблюдение позволяет сократить числа на в следующем смысле: введём многочлен . Его коэффициенты целы, а
При этом не могло оказаться чётным: в таком случае , как соседнее с число, будет нечётным. Тогда либо , и , либо не делится на , и , что в любом случае даёт противоречие. Это приводит к идее рассматривать в качестве степень двойки.
Пусть . Тогда в силу написанного выше , а . Так как и соседствует с , то , и тогда из следует, что по модулю равно либо , либо . Первый вариант не годится, так как иначе или . Во втором случае или , и с учётом подходит только . Но такому набору соответствует единственный набор коэффициентов многочлена , при котором выполнены равенства , так как парабола задаётся тремя точками. С другой стороны, его старший коэффициент обязан делится на , которое может быть сколь угодно большим, и он ненулевой, так как три полученные точки не лежат на одной прямой. Таким образом, достаточно большие степени двойки не будут сильно кубическими, а значит, не все числа, большие , такие.
Другое решение. Пусть , и . Из теоремы Безу находим, что . Знаем, что . Отсюда . Поскольку числа и взаимно просты, число делится на , иными словами для . Также знаем, что . Отсюда
Как известно, число делится на , то есть число
является целым. Поскольку числа и взаимно просты, число делится на , иными словами для . Отсюда , следовательно делится на . Напишем , где . Далее . Подставим в и получим .
И наконец, подставляя в , находим , а также и . Существует бесконечно много натуральных чисел , не представимых в таком виде, например, при .
Замечание. Можно показать, что любое число вида является сильно кубическим, при условии что числа , , , и не равны нулю.