МОШ 2024, 11 класс, задача 5
В тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка , где -- точка пересечения высот грани , провели прямую перпендикулярно плоскости . Аналогичным образом определили точки , , и построили прямые , , соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые , , , пересекаются в одной точке.
(М. Евдокимов)
Решение. Проведём через пару скрещивающихся рёбер тетраэдра две параллельные плоскости. Так же поступим для двух других пар скрещивающихся рёбер и получим параллелепипед. Диагонали его граней равны между собой, поэтому все грани -- прямоугольники, и параллелепипед прямоугольный. Пусть -- его центр, являющийся также центром описанной сферы тетраэдра . Пусть также , , , -- точки, симметричные , , , соответственно относительно точки (см. рисунок). Докажем, что все построенные прямые проходят через точку .
Пусть -- центр масс треугольника . Тогда
то есть точка лежит на диагонали и делит её в отношении , считая от вершины . Аналогично центр масс треугольника лежит на этой диагонали и делит её в отношении , считая от вершины . Точка -- середина отрезка , поэтому .
Рассмотрим проекцию на плоскость : -- проекция точки , -- проекция центра . Точка совпадает с центром описанной сферы тетраэдра , поэтому -- центр описанной окружности треугольника .
Тогда прямая проецируется в прямую Эйлера треугольника . Пусть . Тогда ( делит отрезок в отношении , это отношение сохраняется при проецировании). Кроме того, , , лежат на одной прямой и (прямая Эйлера), отсюда . Следовательно, , а прямая , перпендикулярная плоскости , делит отрезок пополам, а значит, совпадает с прямой . Итак, все построенные прямые проходят через точку .