МОШ 2024, 10 класс, задача 2

Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.

(А. Юран)

Ответ

Решение. Обозначим девятиугольник как . Рассмотрим четырёхугольники и . Заметим, что оба прямоугольниками они быть не могут, так как он однозначно задаётся тремя точками. Значит, так как сумма углов в четырёхугольнике равна , один из них будет иметь тупой угол, который и даст нам искомый треугольник.

Похожие задачи

МОШ 2026, 11 класс, задача 2

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и AB взяли точки K и L соответственно так, что прямая IK перпендикулярна CI, а KL параллельна BI. Докажите, что треугольник LKI — равнобедренный. (М. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 10 класс, задача 1

Дан остроугольный треугольник ABC. На его описанной окружности отмечена точка D, диаметрально противоположная вершине A. Точки X и Y на стороне BC таковы, что BX=XD и CY=YD (точка X лежит на отрезке BY). Докажите, что DA — биссектриса угла XDY.

Сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 11 класс, задача 3

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника? (М. А. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2024, 11 класс, задача 2

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH. Точки M и N -- середины отрезков BH и CH. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек M и N на прямые AB и AC соответственно, равноудалена от точек B и C. (И. Михайлов)

Сложная

Планиметрия