МОШ 2024, 10 класс, задача 2

Сложная
Планиметрия
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 10 класс

Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.

(А. Юран)

Решение. Обозначим девятиугольник как . Рассмотрим четырёхугольники и . Заметим, что оба прямоугольниками они быть не могут, так как он однозначно задаётся тремя точками. Значит, так как сумма углов в четырёхугольнике равна , один из них будет иметь тупой угол, который и даст нам искомый треугольник.

Похожие задачи

МОШ 2022, 11 класс, задача 3

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника? (М. А. Евдокимов)
Сложная
Планиметрия

МОШ 2023, 9 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)
Сложная
Планиметрия

МОШ 2020, 10 класс, задача 3

Существует ли вписанный в окружность 19-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Сложная
Планиметрия

МОШ 2023, 10 класс, задача 4

На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3
Сложная
Планиметрия