МОШ 2024, 9 класс, задача 5
В ряд стоят вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук, начав внизу первого столбика, в конце пути оказался наверху пятого столбика?
Например, если палочки расположены как на рисунке, то жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью палочку на пути жука, то он поползёт по пунктирной линии.
(Г. Караваев)
Ответ: да, всегда.
Решение. Посадим по жуку на основание каждого столбика. Пусть они будут ползти вверх с одинаковыми скоростями, а на горизонтальных палочках будут мгновенно меняться местами. Тогда в каждый момент времени по каждому столбику ползёт один жук. В частности, на каждом столбике финиширует один из жуков.
Назовём жука, стартовавшего с первого столбика, красным, а финишировавшего на вершине пятого столбика — зелёным. Красный жук стартует левее зелёного, а финиширует правее. Значит, хотя бы на одной из палочек они должны поменяться местами. Уберём эту палочку. После этого красный жук поползёт по маршруту зелёного, то есть закончит на пятом столбике.
Замечание. Ту же идею можно было оформить по-другому. Изначально посадим синего жука на вершину пятого столбика, и пусть он ползёт сверху вниз. Его траектория пересечётся с траекторией красного жука по горизонтальной палочке. Эту палочку и уберём.