МОШ 2024, 11 класс, задача 2

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?

(М. А. Евдокимов)

Ответ

Ответ: .

Решение. Пусть в турнире участвовало команд. Заметим, что в каждом матче две команды в сумме получают или очка. Значит, общее количество очков, которые могут набрать все команды в одном круге, не меньше, чем , и не больше, чем . Из условия следует, что все команды вместе набрали в первом круге ровно в полтора раза больше очков, чем во втором ( всех очков в первом круге и во втором). Но это возможно лишь в случае, если в первом круге все матчи закончились победой одной из команд (общая сумма очков ), а во втором -- ничьей (общая сумма очков ). Значит, победитель набрал во втором круге очков. По условию, , откуда находим .

Похожие задачи

МОШ 2025, 11 класс, задача 2

Кусок сыра массой 1 кг разрезали на n≥4 кусков массами меньше 600 г. Оказалось, что их нельзя разбить на две кучки так, чтобы масса каждой кучки была не меньше 400 г, но не больше 600 г (кучка может состоять из одного или нескольких кусков). Докажите, что найдутся три таких куска, что суммарная масс

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2024, 11 класс, задача 3

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы н

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2026, 11 класс, задача 1

В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записано по одному действительному числу так, что суммы чисел во всех группах клеток, образующих «лесенку» (см. рисунок), одинаковы. Может ли среди записанных чисел быть по крайней мере 89 различных? (Жюри) Рисунок к условию задачи 1

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2022, 9 класс, задача 4

Некоторые клетки доски 100 × 100 покрашены в чёрный цвет. Во всех строках и столбцах, где есть чёрные клетки, их количество нечётно. В каждой строке, где есть чёрные клетки, поставим красную фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. В каждом столбце, где есть чёрные клетки, поставим синюю фишку в сред

Сложная

Комбинаторика