МОШ 2024, 11 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 11 класс, Второй тур

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?

(М. А. Евдокимов)

Ответ: .

Решение. Пусть в турнире участвовало команд. Заметим, что в каждом матче две команды в сумме получают или очка. Значит, общее количество очков, которые могут набрать все команды в одном круге, не меньше, чем , и не больше, чем . Из условия следует, что все команды вместе набрали в первом круге ровно в полтора раза больше очков, чем во втором ( всех очков в первом круге и во втором). Но это возможно лишь в случае, если в первом круге все матчи закончились победой одной из команд (общая сумма очков ), а во втором -- ничьей (общая сумма очков ). Значит, победитель набрал во втором круге очков. По условию, , откуда находим .

Похожие задачи

МОШ 2026, 11 класс, задача 1

В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записано по одному действительному числу так, что суммы чисел во всех группах клеток, образующих «лесенку» (см. рисунок), одинаковы. Может ли среди записанных чисел быть по крайней мере 89 различных? (Жюри) Рисунок к условию задачи 1

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2024, 10 класс, задача 1

Петя и Вася играют на отрезке [0;1], в котором отмечены точки 0 и 1. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложи

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2024, 9 класс, задача 2

На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)? (

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2021, 9 класс, задача 3

В узлах сетки клетчатого прямоугольника 4 × 5 расположены 30 лампочек, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек (размерами лампочек следует пренебречь, считая их точками), такую, что с какой-то одной стороны от неё ни одна лампочка не горит, и заж

Сложная

Комбинаторика