МОШ 2026, 11 класс, задача 1
В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записано по одному действительному числу так, что суммы чисел во всех группах клеток, образующих «лесенку» (см. рисунок), одинаковы. Может ли среди записанных чисел быть по крайней мере различных?
(Жюри)
Ответ
Ответ: нет.
Решение. Отметим четыре «лесенки» в прямоугольнике , как показано на рисунке.
Приравняв суммы чисел в них, получим равенства
откуда следует, что . Таким образом, расстановка чисел на клетчатой плоскости периодична с шагом по горизонтали. Проводя аналогичное рассуждение для прямоугольника , получим, что она периодична с шагом четыре и по вертикали. Тогда на доске написано не больше различных чисел.