МОШ 2024, 9 класс, задача 2

Сложная
Комбинаторика
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 9 класс

На урок физкультуры пришло детей, все разной силы. Учитель раз делил их на две команды по человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?

(М. Евдокимов)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: да, могло.

Решение. Пусть силы мальчиков равны . Предъявим возможных разбиений на две команды с равными силами. Поделим мальчиков на пары с суммарной силой :

Пусть в первой команде всегда будет пара и ещё какие-то две пары, а три оставшиеся пары будут во второй команде. Тогда суммарная сила каждой команды будет равна . Две пары из пяти можно выбрать способами. Таким образом мы получили возможных разбиений на команды с равными силами.

Похожие задачи

МОШ 2024, 10 класс, задача 1

Петя и Вася играют на отрезке [0;1], в котором отмечены точки 0 и 1. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложи
Сложная
Комбинаторика

МОШ 2021, 9 класс, задача 3

В узлах сетки клетчатого прямоугольника 4 × 5 расположены 30 лампочек, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек (размерами лампочек следует пренебречь, считая их точками), такую, что с какой-то одной стороны от неё ни одна лампочка не горит, и заж
Сложная
Комбинаторика

МОШ 2023, 11 класс, задача 2

Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5? (М. А. Евдокимов)
Сложная
Комбинаторика

МОШ 2024, 11 класс, задача 2

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60% от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпи
Сложная
Комбинаторика