МОШ 2024, 10 класс, задача 1
Петя и Вася играют на отрезке , в котором отмечены точки и . Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?
(Б. Бутырин)
Ответ. Да, получится.
Решение. Первым ходом Петя отмечает середину отрезка — точку . Пусть Вася сходил, без потери общности, в левый отрезок точкой . Образуются три отрезка, один из которых (а именно ) равен сумме двух других, поэтому Вася не сможет выиграть на первом своём ходу, и игра продолжится. Далее Пете остаётся отметить середину правого отрезка .
Тогда отрезки , и образуют треугольник: в сумме и , как половина , больше , а неравенства и верны в силу равенства и .