Сложная
Комбинаторика
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 10 класс

МОШ 2024, 10 класс, задача 1

Петя и Вася играют на отрезке , в котором отмечены точки и . Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?

(Б. Бутырин)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Да, получится.

Решение. Первым ходом Петя отмечает середину отрезка — точку . Пусть Вася сходил, без потери общности, в левый отрезок точкой . Образуются три отрезка, один из которых (а именно ) равен сумме двух других, поэтому Вася не сможет выиграть на первом своём ходу, и игра продолжится. Далее Пете остаётся отметить середину правого отрезка .

Рисунок к решению задачи 1

Тогда отрезки , и образуют треугольник: в сумме и , как половина , больше , а неравенства и верны в силу равенства и .

Похожие задачи

МОШ 2022, 9 класс, задача 4

Некоторые клетки доски 100 × 100 покрашены в чёрный цвет. Во всех строках и столбцах, где есть чёрные клетки, их количество нечётно. В каждой строке, где есть чёрные клетки, поставим красную фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. В каждом столбце, где есть чёрные клетки, поставим синюю фишку в сред
Сложная
Комбинаторика

МОШ 2024, 11 класс, задача 3

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы н
Сложная
Комбинаторика

МОШ 2022, 10 класс, задача 3

Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми
Сложная
Комбинаторика

МОШ 2020, 10 класс, задача 2

Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее 3/7 фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.
Сложная
Комбинаторика