МОШ 2024, 9 класс, задача 4

Решение. Временно забудем о том, что, что точка лежит на отрезке . Пусть — центр . Обозначим через точку пересечения прямых и .

Так как лежит на биссектрисе внешнего угла , то . Так как лежит на биссектрисе угла , то точки , , лежат на одной прямой. Тогда

Таким образом, , то есть четырёхугольник вписанный.

Вернёмся к решению задачи. Точки и совпадают тогда и только тогда, когда , что, в свою очередь, эквивалентно тому, что . Но тогда . Проведя аналогичные рассуждения, получим, что принадлежность точек , , одной прямой также эквивалентна условию, что угол прямой.

Решение 2. Как и в прошлом решении, временно забудем о том, что точка лежит на отрезке . Воспользуемся двумя известными фактами.

Лемма о трезубце. Точка равноудалена от точек , , и центра вписанной окружности треугольника .

Внешняя лемма о трезубце. Точка равноудалена от точек , , и центра окружности, касающейся стороны и продолжений сторон и .

Из этих утверждений следует, что и , а значит является серединным перпендикуляром к отрезку .

Вернёмся к решению задачи. Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда , то есть треугольник является равнобедренным и прямоугольным. Это, в свою очередь, равносильно тому, что , что эквивалентно тому, что .

Осталось, как и в концовке прошлого решения, сослаться на то, что аналогично устанавливается эквивалентность утверждений, что и что точки , , лежат на одной прямой.

Решение 3. Приведём решение, в котором не используется в качестве вспомогательного факта, что угол прямой.

Пусть — центр вписанной в треугольник окружности, — точка касания этой окружности со стороной , — точка пересечения отрезков и . Обозначим через точку пересечения прямых и . Требуется доказать, что точки и совпадают.

Мы будем пользоваться следующими известными фактами.

1. Прямые и параллельны биссектрисе угла , а прямая — перпендикулярна.

2. Выполнены равенства и .

Поскольку и аналогично , то треугольники и подобны. Тогда и — соответствующие точки в подобных треугольниках и , поэтому . Так как длина отрезка равна расстоянию между параллельными прямыми и , то

Аналогично , поэтому

Подставив , получим

Но , то есть . Следовательно, точки и совпадают.

Замечание 1. В случае прямого угла прямая проходит не только через точку , но и через точку касания с продолжением стороны .

Замечание 2. Верно аналогичное утверждение точек касания вписанной окружности с катетами. А именно, прямая проходит через точки касания вписанной в треугольник окружности с катетами и .