МОШ 2024, 11 класс, задача 4
В остроугольном треугольнике высоты , и пересекаются в точке . Через точки, в которых окружность радиуса с центром пересекает отрезки и , проведена прямая . Аналогично проведены прямые и . Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми , , , совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник .
(И. Н. Михайлов)
Решение. Покажем, что биссектрисы треугольника содержат высоты треугольника, образованного прямыми , , . Для этого докажем, что точка пересечения прямых , лежит на биссектрисе угла , а прямая перпендикулярна этой биссектрисе.
1) Докажем, что прямая перпендикулярна биссектрисе угла . Пусть и -- это точки пересечения окружности с центром в радиуса с отрезками и соответственно. Тогда треугольник -- равнобедренный с основанием , поэтому прямая (она же ) перпендикулярна прямой , содержащей биссектрису угла . Поэтому достаточно доказать, что прямая параллельна биссектрисе угла . Пусть и -- середины дуг и окружности , построенной на как на диаметре. Из свойств вписанных углов следует, что -- биссектриса , -- биссектриса . Заметим также, что -- диаметр окружности . Значит, отрезки и пересекаются в центре окружности как её диаметры и делятся точкой пересечения пополам. То есть четырёхугольник -- параллелограмм (и даже прямоугольник, поскольку его углы -- вписанные, опирающиеся на диаметры окружности , то есть прямые). В частности, , что и требовалось.
2) Докажем, что прямые и пересекаются на биссектрисе угла . Пусть прямые и пересекают отрезки , в точках и соответственно, а точку пересечения и обозначим через . Также обозначим углы , и треугольника через , и соответственно. Поскольку и , то треугольники и -- равнобедренные с углами, равными , напротив оснований. Поэтому . Пусть прямые и пересекают отрезок в точках и соответственно. Тогда треугольник -- равнобедренный с основанием , значит . Рассуждая аналогично для треугольника , получаем, что . Тогда получаем , откуда следует, что лежит на окружности, описанной около треугольника . Аналогично точка лежит на окружности, описанной около треугольника . Таким образом, пять точек , , , , лежат на одной окружности.
Тогда по свойству вписанных углов . Четырёхугольник -- вписанный, поскольку . Значит, , то есть . Отсюда следует, что -- биссектриса угла . Аналогично -- биссектриса угла . Значит, точка является центром окружности, вписанной в треугольник , в частности, лежит на биссектрисе угла .
Повторяя рассуждения пунктов 1) и 2) для двух других биссектрис треугольника , получаем, что точка пересечения биссектрис треугольника совпадает с точкой пересечения высот треугольника, образованного прямыми , , , что и требовалось доказать.