МОШ 2024, 11 класс, задача 5

Ответ: да, верно.

Решение. Первый способ. Для удобства назовём непересекающиеся группы клеток одного разбиения (Пети или Васи) фигурками.

Построим вспомогательный двудольный граф . Для каждой из фигурок одного из разбиений (Пети или Васи) добавим в граф новую, соответствующую этой фигурке вершину. При этом вершины, соответствующие фигуркам Пети, отнесём к первой доле, а вершины, соответствующие фигуркам Васи, -- ко второй. Далее проведём рёбра между некоторыми вершинами графа по следующему правилу: если фигурка Пети пересекается с фигуркой Васи по нечётному количеству клеток, то проведём между соответствующими этим фигуркам вершинами ребро.

Заметим, что в построенном графе степень каждой вершины чётна. Действительно, выберем, например, произвольную фигурку Васи . Поскольку состоит из чётного числа клеток и пересекается лишь с фигурками из разбиения Пети, то по нечётному количеству клеток она будет пересекаться с чётным количеством фигурок.

Рассмотрим произвольную компоненту связности . Поскольку степень каждой вершины этой компоненты чётна, то существует цикл (т. н. эйлеров цикл), проходящий по всем рёбрам этой компоненты ровно по разу. Выберем такие циклы для каждой компоненты связности . Для удобства назовём полученное разбиение рёбер графа на циклы .

Теперь построим искомую раскраску фигурок в разбиении Пети. Выберем произвольный цикл из построенного разбиения и ориентируем его рёбра в каком-то из двух возможных естественных направлений его обхода. Рассмотрим произвольное (уже ориентированное) ребро цикла . Пусть оно соединяет вершины, соответствующие фигуркам и . По построению фигурки и пересекаются по нечётному количеству клеток. Пусть они пересекаются по клетке. Тогда если ребро ведёт из первой доли во вторую, то Петя покрасит произвольные из них в чёрный цвет и произвольные из них в противном случае. Пусть Петя выполнит аналогичную покраску для каждой компоненты связности . Наконец, пусть для каждой пары фигурок и , пересекающихся по чётному количеству клеток, Петя покрасит ровно половину клеток в их пересечении в чёрный цвет.

Докажем, что полученная покраска будет искомой. Рассмотрим, например, произвольную фигурку Пети . Пусть -- произвольная фигурка Васи. Заметим, что среди общих клеток фигурок и разность числа чёрных и белых клеток равна или , в зависимости от чётности числа клеток в этом пересечении. Поэтому достаточно доказать, что разность встречается среди пересечений фигурки Пети с фигурками Васи столько же раз, сколько и разность . Пусть фигурке в графе соответствует вершина , которая лежит в некотором цикле из построенного ранее разбиения . Тогда каждой разности соответствует ребро цикла , входящее в , а каждой разности -- ребро цикла , исходящее из . Из построения цикла следует, что рёбер, входящих в , в нём будет столько же, сколько и рёбер, исходящих из . Поэтому фигурок Васи, в клетках пересечения с которыми будет ровно на одну чёрную клетку больше, будет столько же, сколько фигурок Васи, в клетках пересечения с которыми будет ровно на одну белую клетку больше. Таким образом, в фигурке поровну чёрных и белых клеток, что и требовалось доказать.

Второй способ. Заметим, что частным случаем разбиений является ситуация, когда каждая из Петиных и Васиных групп содержит в точности две клетки. С другой стороны, любое разбиение на группы из четного числа клеток можно измельчить на группы из двух клеток, и если существует требуемая раскраска для измельченных разбиений, то та же самая раскраска, очевидно, решает задачу и для исходных разбиений.

Теперь каждую Васину группу (из двух клеток), совпадающую с какой-то из Петиных групп, покрасим в черный и белый цвет любым из двух способов -- одну клетку в черный, другую в белый цвет. Осталось раскрасить множество клеток, которое Васей и Петей разбито на пары так что ни одна Васина пара не совпадает с Петиной парой.

Построим граф, вершины которого соответствуют Васиным и Петиным группам (у Васи и Пети, очевидно, одно и то же количество групп). Две вершины соединим ребром тогда и только тогда, когда соответствующие группы имеют общую клетку. Тогда каждая вершина графа имеет степень два, причем любое ребро соединяет одну из вершин, соответствующих Васиным группам, с одной из вершин, соответствующих Петиным группам.

Такой граф разбивается на циклы, причем каждый цикл имеет четную длину (за счет того, что в нем чередуются вершины, соответствующие Васиным и Петиным группам) и допускает раскраску в два цвета, при которой цвета ребер чередуются вдоль цикла. Наконец, цвету клетки сопоставим цвет ребра, соединяющего две вершины графы, соответствующие Васиной и Петиной группам, пересекающимся по данной клетке. Полученная раскраска удовлетворяет условию задачи.