МОШ 2026, 11 класс, задача 1
Можно ли расставить в вершинах и в серединах рёбер
правильного октаэдра по одному натуральному числу от до
так, чтобы все числа были различны, а в каждой вершине стояло
число, равное сумме четырёх чисел, стоящих в серединах исходящих из этой вершины рёбер?
(М. Евдокимов)
Ответ
Решение. Предположим, что требуемая расстановка существует. Далее можно рассуждать поразному.
Первый способ. Рассмотрим сумму чисел в двух противоположных вершинах октаэдра. С одной
стороны, эта сумма равна сумме чисел, стоящих в серединах восьми рёбер, исходящих из этих двух
вершин, а поскольку все эти числа различны, она не меньше, чем . С
другой стороны, сумма двух различных чисел, не превосходящих , не больше, чем .
Противоречие.
Второй способ. Поскольку у октаэдра рёбер, а все расставленные числа различны, в середине
хотя бы одного из рёбер стоит число, не меньшее . Но тогда в каждой из вершин, соединённых
этим ребром, должно стоять число, не меньшее , что невозможно.
Третий способ. Заметим, что в шести вершинах октаэдра могут стоять только числа , , , ,
, . Действительно, если бы какое-то из них стояло в середине ребра, то в вершине, являющейся
концом этого ребра, стояло бы число, не меньшее . Сумма чисел от до
нечётна, так как среди них ровно три нечётных. Но из условия следует, что сумма чисел, стоящих
в вершинах октаэдра, должна быть равной удвоенной сумме чисел, стоящих в серединах рёбер, и
поэтому чётной. Противоречие.
Ответ: нет, нельзя.