МОШ 2023, 11 класс, задача 5
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере.
Верно ли, что тетраэдр правильный?
(М. А. Евдокимов)
Решение.
Рассмотрим тетраэдр , удовлетворяющий условию задачи. Заметим, что по условию для любой высоты данного тетраэдра справедливо неравенство , где — радиус вписанной сферы, то есть , .
Пусть — площадь грани, на которую опущена высота . Докажем, что . Предположим противное. Выберем грань минимальной площади (если таких граней несколько, то берём любую из них). Без нарушения общности можно считать, что её площадь равна (иначе можно ввести переобозначения). Так как не все равны между собой и — наименьшая из них, то
Выразим объём тетраэдра двумя способами:
Отсюда , что противоречит неравенству .
Итак, все равны, поэтому все тоже равны, так как . Обозначим за длину этих равных высот. Из приведённого выше соотношения для объёма получаем , то есть неравенство обращается в равенство. Но это возможно только в случае, если высота содержит центр сферы и точку касания с гранью (и так для каждой высоты).
Пусть — основание высоты тетраэдра, опущенной из точки . Тогда совпадает с точкой касания сферы и грани . Пусть , тогда по теореме о касательной и секущей . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника получаем
Аналогично получаем такое же выражение для остальных рёбер тетраэдра, следовательно, они равны между собой, то есть тетраэдр правильный.