МОШ 2022, 11 класс, задача 4
Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более ?
(М. А. Евдокимов)
Решение.
Пусть корабль находится в некоторой точке . Рассмотрим правильный октаэдр , описанный возле шара радиуса с центром в точке . Докажем, что путь заведомо позволит достигнуть граничной плоскости. Предположим противное. Но тогда вершины октаэдра, а значит и сам октаэдр (выпуклая оболочка его вершин), лежат строго внутри полупространства. Поэтому вписанный шар октаэдра, радиус которого равен , тоже лежит строго внутри полупространства. Получаем противоречие, так как по условию расстояние до граничной плоскости полупространства равно . Покажем теперь, что длина пути меньше . Пусть . Запишем объём пирамиды двумя способами:
Отсюда , а длина ребра октаэдра равна . Поэтому длина пути равна , так как .
Ответ. Да, может.
Комментарий. Существует много других способов. Также можно придумать пример, в котором длина пути меньше . Для этого в исходном решении заменим участок пути на приведённый на рисунке ниже (половина стороны квадрата полуокружность половина стороны квадрата). При этом общая длина пути сократится на и будет чуть меньше .
Этот пример подходит, так как выпуклая оболочка точек пути всё ещё содержит вписанный в октаэдр шар радиуса , поскольку этот шар касается образующей конуса с вершиной и основанием, которым является вписанная окружность квадрата ). Можно улучшить оценку примерно до , если в плоскости квадрата рассмотреть правильный шестиугольник , описанный возле той же самой окружности .
Путь будет следующим: по отрезку по прямой до вершины шестиугольника , далее по касательной до точки касания с , далее по дуге окружности , далее по касательной к до точки , далее по отрезку . Моделирование на компьютере позволяет ещё немного улучшить эту конструкцию, если менять расстояние от точек и до плоскости окружности и путь в этой плоскости так, чтобы объединение двух соответствующих конусов содержало шар с центром в точке радиуса . Однако улучшение получается незначительным. Если у кого-нибудь из участников олимпиады получится существенно улучшить оценку сверху или получить хорошую оценку снизу, то просьба писать автору задачи по адресу: .