МОШ 2026, 11 класс, задача 6

Решение. Первый способ. Для решения нам понадобятся три известных леммы.
Лемма 1.1. Пусть сфера вписана в трёхгранный угол и касается грани в точке . Тогда

Доказательство. Пусть сфера касается граней и в точках и соответственно. Тогда , а также , , по теореме об отрезках касательных. Значит, по трём сторонам равны следующие пары треугольников , , . Тогда

что и требовалось доказать.

Лемма 1.2. В выпуклую четырёхугольную пирамиду можно вписать сферу тогда и
только тогда, когда суммы противоположных плоских углов при вершине равны.
Доказательство данного утверждения можно найти в заметке «О шаре, вписанном в выпуклую
четырёхугольную пирамиду» И. Я. Такатара в журнале «Математическое просвещение».
Лемма 1.3. В выпуклую четырёхугольную пирамиду вписана сфера, которая касается плоскости основания в точке . Тогда .

Доказательство. Так как сумма углов треугольника равна , получаем, что , . Значит, достаточно обосновать равенство

По лемме 1.1

где последнее равенство выполнено по лемме 1.2.

Пусть вписанные сферы тетраэдров и касаются в точке .

Запишем по лемме 1.1 величину угла двумя способами.

По лемме 1.2 полученное равенство эквивалентно тому, что в можно вписать сферу .

Запишем по лемме 1.1 величину угла двумя способами.

Из полученного равенства и леммы 1.1 следует, что точка касания с гранью лежит на диагонали . По лемме 1.3 сумма углов, под которыми из точки видны стороны и , равна . Несложно видеть, что поскольку диагонали четырёхугольника перпендикулярны и он отличен от дельтоида, то на диагонали существует ровно одна подходящая точка - это точка пересечения диагоналей. Таким образом, точка лежит на диагонали .

Для решения задачи теперь необходимо проделать те же выкладки, но в обратном порядке.
Сфера вписана в трёхгранный угол , отсюда

Обозначим точки касания вписанных в тетраэдры и сфер с гранью через и соответственно. Тогда, записав по лемме 1.1 углы и , получим

что верно, откуда лучи и совпадают. Аналогично доказывается, что лучи и
совпадают, откуда следует, что точки и совпадают, то есть сферы касаются.
Второй способ.

Пусть точка на плоскости такова, что , а также
лежит в той же полуплоскости относительно прямой , что и точки и . Аналогично построим
точки , , .
Как и первом решении, при помощи леммы из касания вписанных сфер тетраэдров
и получим равенства

Отметим, что из неравенства треугольника для плоских углов трёхгранного угла следует, что обе
данные величины положительны. Также заметим, что для решения задачи досаточно обосновать
аналогичные равенства

По построению . В силу отмеченных выше равенств углов и их положительности

Значит, точки и симметричны относительно прямой . Аналогично получаем, что и
симметричны относительно прямой .
Пусть точка симметрична относительно . Поскольку по условию у нет равных
сторон, точка отлична от . Тогда из симметрии получаем, что
.
Поскольку , отсюда вытекает, что треугольники и (возможно,
вырожденные) равны по трём сторонам.
Получаем, что точки и симметричны относительно прямой (или совпадают). Значит,
, откуда, аналогично рассуждению выше, следует равенство $$\angle SDA-\angle BDA=\angle SDC-\angle CDB.$$ Второе искомое равенство углов доказывается аналогично.
Третий способ.

Лемма 2.1. Сфера касается двух плоскостей, проходящих через точки и , в точках и . Тогда треугольники и совмещаются поворотом относительно прямой , который
переводит плоскость в плоскость .
Доказательство. Данное утверждение вытекает из доказательства леммы 1.1.

Лемма 2.2. Дана четырёхугольная пирамида . Сферы и , вписанные в тетраэдры и соответственно, касаются грани в точках и , а грани в точках и соответственно. Тогда .
Доказательство. Из леммы следует, что при повороте относительно прямой , который
переводит плоскость в плоскость , точка переходит в , а точка — в ,
откуда вытекает искомое утверждение.
Обозначим вписанные сферы тетраэдров , , , через , , , соответственно, их центры — , , , соответственно, а их точки касания с плоскостью
— , , , соответственно. Пусть, как и в первом решении, сферы и касаются в точке . По теореме об отрезках касательных имеют место равенства отрезков ,
. Значит, точки и симметричны относительно прямой .
Обозначим точки касания с плоскостями и через и , точку касания с — через , а точку касания с — через . По лемме имеют место
равенства треугольников: и . Поскольку пары треугольников
, и , совмещаются поворотом вокруг прямой , при котором плоскость
переходит в плоскость , то . Из леммы получаем также равенства
и . Собирая указанные равенства вместе, получаем .
Проведя аналогичное рассуждение для сфер , и , покажем, что . Отсюда
следует, что точки и лежат на серединном перпендикуляре к отрезку , то есть, как
показано выше, на прямой .
Рассмотрим плоскость , проходящую через и перпендикулярную плоскости основания
пирамиды . Так как точки касания сфер и с — точки и — лежат на ,
то центры и лежат в . Это означает, что прямые и пересекаются в некоторой точке,
которую мы обозначим (обе точки и лежат в части плоскости , ограниченной прямыми,
перпендикулярными плоскости , проходящими через и , поэтому точка действительно
существует). Поскольку точки прямой равноудалены от плоскостей , и ,
а точки прямой равноудалены от плоскостей , и , то равноудалена от
плоскостей всех граней пирамиды и лежит внутри неё. Значит, в можно вписать
сферу, причём — центр этой вписанной сферы.
Докажем, что прямые и не параллельны.
Доказательство. Если , то — прямоугольник, в котором точка касания
сфер и является серединой отрезка . В таком случае лежит в плоскости , проходящей через середину и перпендикулярной этому отрезку, а сферы и симметричны относительно . Тогда пары плоскостей граней , и , также симметричны
относительно , откуда следует, в частности, что , , что противоречит условию.
Так как — центр вписанной сферы, то через эту точку также проходят лучи , . Отсюда
следует, что точки лежат в одной плоскости. Поскольку ортогональная проекция прямой на плоскость — прямая — как показано выше, перпендикулярна прямой , то
. По условию задачи . Так как прямые и не параллельны, получаем,
что плоскость перпендикулярна . Отсюда следует, что точки касания и лежат
на прямой .
Для завершения решения достаточно, как и в концовке первого способа, воспользовавшись леммой , обосновать равенства углов и .