МОШ 2023, 11 класс, задача 5
В выпуклом многограннике обозначим через , и соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что .
Например, для тетраэдра (, , ) выполняется равенство, а для треугольной призмы (, , ) или куба (, , ) имеет место строгое неравенство.
(О. Н. Косухин)
Ответ
Решение. Степенью вершины многогранника называется количество исходящих из неё рёбер этого многогранника. Вершины называются смежными, если они соединены ребром.
Пусть — произвольная вершина многогранника, — её степень, — степени всех смежных с ней вершин (), занумерованных в произвольном порядке. Тогда — это количество всех рёбер, исходящих из смежных с вершин, учтённых один или два раза, причём дважды учтены те и только те рёбра, которые лежат против вершины в некоторой треугольной грани многогранника. Значит, . Отсюда, используя известное неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим, получаем
Следовательно,
Обозначим сумму в левой части последнего неравенства через .
Пусть () — все вершины многогранника, занумерованные в произвольном порядке, а () — их соответствующие степени. Для любой пары смежных вершин и по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим выполнено неравенство
Складывая эти неравенства по всем неупорядоченным парам смежных вершин многогранника, получаем
По доказанному выше неравенству отсюда следует требуемая оценка.