МОШ 2024, 11 класс, задача 4

Решение. Пусть

-- данный в условии многочлен. По условию числа , , являются его корнями:

Тогда делится на при любом . Поэтому достаточно доказать, что .

Имеем

значит, делится на . Как показано выше, делится на . Значит, делится на . Поскольку эти числа взаимно просты, это возможно только в случае, если . Если , то делится на , и утверждение доказано.

Пусть теперь . Докажем индукцией по , что и при всех . База уже доказана:

Пусть равенство выполнено при всех . Тогда многочлен имеет вид

При получаем

Следовательно, делится на . Как показано выше, делится на , поэтому , где .

Тогда

Значит, делится на . Как показано выше, делится на . Значит, делится на . Поскольку эти числа взаимно просты, это возможно только в случае, если .

Если , то делится на , и утверждение доказано. Если , то

и -- переход доказан.

Если чётно, то из доказанного утверждения следует, что многочлен имеет вид

При получаем , что по условию невозможно.

Если нечётно, то из доказанного утверждения следует, что многочлен имеет вид

где -- целые числа, по модулю равные 1, при всех . Как было показано выше, , поэтому из условия следует, что число является корнем многочлена . Тогда

Если значение первой скобки отлично от нуля, то из этого равенства следует, что , и утверждение доказано.

Предположим, что . Тогда, поскольку , найдётся такое от 2 до , что . Значит, , т. е. число является коэффициентом многочлена . Тогда по условию

Отсюда следует, что делится на , поэтому , что завершает доказательство.

Комментарий. Можно показать, что коэффициенты многочлена не могут быть равны 2, то есть они могут принимать только значения .