МОШ 2024, 11 класс, задача 4
Дан многочлен степени с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули всех коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
(Л. Шатунов)
Ответ
Решение. Пусть
-- данный в условии многочлен. По условию числа , , являются его корнями:
Тогда делится на при любом . Поэтому достаточно доказать, что .
Имеем
значит, делится на . Как показано выше, делится на . Значит, делится на . Поскольку эти числа взаимно просты, это возможно только в случае, если . Если , то делится на , и утверждение доказано.
Пусть теперь . Докажем индукцией по , что и при всех . База уже доказана:
Пусть равенство выполнено при всех . Тогда многочлен имеет вид
При получаем
Следовательно, делится на . Как показано выше, делится на , поэтому , где .
Тогда
Значит, делится на . Как показано выше, делится на . Значит, делится на . Поскольку эти числа взаимно просты, это возможно только в случае, если .
Если , то делится на , и утверждение доказано. Если , то
и -- переход доказан.
Если чётно, то из доказанного утверждения следует, что многочлен имеет вид
При получаем , что по условию невозможно.
Если нечётно, то из доказанного утверждения следует, что многочлен имеет вид
где -- целые числа, по модулю равные 1, при всех . Как было показано выше, , поэтому из условия следует, что число является корнем многочлена . Тогда
Если значение первой скобки отлично от нуля, то из этого равенства следует, что , и утверждение доказано.
Предположим, что . Тогда, поскольку , найдётся такое от 2 до , что . Значит, , т. е. число является коэффициентом многочлена . Тогда по условию
Отсюда следует, что делится на , поэтому , что завершает доказательство.
Комментарий. Можно показать, что коэффициенты многочлена не могут быть равны 2, то есть они могут принимать только значения .