МОШ 2023, 11 класс, задача 1
Дана строго возрастающая функция (где — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению для любых . Найдите все значения, которые может принимать .
(Т. А. Гарманова)
Ответ. .
Решение. 1) Подставляя , , получим .
Если , то получим , что невозможно.
2) Пусть , тогда . Из первого пункта получаем, что . Если подставить , , то получим, что . Поэтому значения функции на концах отрезка являются двумя последовательными натуральными числами. По условию функция строго возрастает, а значит, на отрезке не должно быть других целых точек помимо и , так как в противном случае значения в этих точках совпадали бы с или , что противоречило бы строгому возрастанию. , т. е. .
Подставляя в исходное соотношение и учитывая равенство , получаем . Таким образом, , следовательно, .