МОШ 2026, 9 класс, задача 5
Существует ли бесконечное множество , состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных и из найдётся из (возможно, совпадающее с или ), для которого — квадрат натурального числа?
(М. Евдокимов)
Ответ
Ответ: существует.
Решение. Рассмотрим множество , состоящее из чисел , , , и т. д., то есть из всех чётных степеней двойки. Очевидно, все они являются квадратами натуральных чисел.
Проверим, что для любых двух различных чётных степеней двойки можно подобрать третью (возможно, совпадающую с какой-то из этих двух) так, чтобы их сумма оказалось полным квадратом.
Пусть и , причём . Возьмём . Тогда