МОШ 2026, 9 класс, задача 5

Очень сложная
Алгебра
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2026, 9 класс

Существует ли бесконечное множество , состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных и из найдётся из (возможно, совпадающее с или ), для которого — квадрат натурального числа?

(М. Евдокимов)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: существует.

Решение. Рассмотрим множество , состоящее из чисел , , , и т. д., то есть из всех чётных степеней двойки. Очевидно, все они являются квадратами натуральных чисел.

Проверим, что для любых двух различных чётных степеней двойки можно подобрать третью (возможно, совпадающую с какой-то из этих двух) так, чтобы их сумма оказалось полным квадратом.

Пусть и , причём . Возьмём . Тогда

Похожие задачи

МОШ 2026, 10 класс, задача 5

Назовём набор из k последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном k количество плохих наборов из k после
Очень сложная
Алгебра
Комбинаторика

МОШ 2025, 11 класс, задача 5

Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Биссектриса угла CBH пересекает отрезок CH в точке X, биссектриса угла BCH пересекает отрезок BH в точке Y. Обозначим величину угла XA1Y через α. Аналогично определим β и γ. Найди
Очень сложная
Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 6

Существует ли такое число A, что для любого натурального n расстояние от верхней целой части An до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2? (Д. Креков)
Очень сложная
Алгебра

МОШ 2025, 10 класс, задача 5

Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Биссектриса угла CBH пересекает отрезок CH в точке X, биссектриса угла BCH пересекает отрезок BH в точке Y. Обозначим величину угла XA1Y через α. Аналогично определим β и γ. Найди
Очень сложная
Алгебра