МОШ 2025, 11 класс, задача 5
Высоты , , остроугольного треугольника пересекаются в точке . Биссектриса угла пересекает отрезок в точке , биссектриса угла пересекает отрезок в точке . Обозначим величину угла через . Аналогично определим и . Найдите значение суммы .
(А. Доледенок)
Ответ: .
Решение. Обозначим точки пересечения биссектрис углов и с отрезком через и соответственно. Докажем, что
Из этого будет следовать решение задачи — сумма из условия разбивается на три пары углов с суммой (рис. 4), то есть искомая сумма будет равна .
Первый способ. Так как , то и , поэтому
Следовательно, прямоугольные треугольники и подобны по двум углам, поэтому
Как известно, треугольники и подобны треугольнику , а, следовательно, подобны друг другу. Отсюда
Из равенств (1) и (2) следует, что
Как известно, , поэтому треугольники и подобны по углу и отношению прилежащих сторон, откуда .
Тогда
что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть — точка, изогональная сопряжённая относительно треугольника . Так как
то точки и — соответствующие точки в подобных треугольниках и . Тогда
что и требовалось доказать.
Третий способ. Пусть и — точки пересечения описанных окружностей треугольников и с прямыми и соответственно. Так как четырёхугольник вписанный, то
Так как четырёхугольник вписанный, то
Таким образом, треугольники и подобны по двум углам.
Поскольку четырёхугольник вписанный, то , поэтому
Таким образом, прямоугольные треугольники и подобны по двум углам.
На гипотенузах и подобных треугольников и построены соответствующим образом подобные треугольники и . Следовательно, полученные четырёхугольники и подобны. Тогда диагонали и образуют одинаковые углы с соответствующими сторонами и , то есть , что и требовалось доказать.