МОШ 2022, 11 класс, задача 5

Решение. Решим задачу в общем виде. Пусть — многочлен степени ( — четное) с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным . Рассмотрим несколько случаев.

Если свободный свободный член многочлена равен нулю (т. е. ), то на интервале он имеет не более корней.

Пусть . Если многочлен имеет корней на интервале , то значение их произведения, по теореме Виета равное свободному члену, также будет лежать на интервале , что противоречит условию, что все коэффициенты многочлена — целые.

Таким образом, многочлен имеет не более корня на интервале .

Рассмотрим многочлен . Это многочлен степени с целыми коэффициентами и свободным членом равным . При этом каждому корню многочлена , лежащем на интервале , соответствует корень многочлена и этот корень лежит на луче . Верно и обратное: каждому корню многочлена , лежащему на луче , соответствует корень многочлена , который лежит на интервале .

Покажем, что существует пример многочлена , который имеет ровно корень на луче .

Многочлен имеет вид . Если — достаточно большие натуральные числа, то многочлен имеет целые коэффициенты и имеет корень на луче . Действительно, рассмотрим, например, многочлен . Тогда , , , , . В рассмотренных точках многочлен принимает значения чередующихся знаков, поэтому он имеет корень на луче . Эти корни расположены на интервалах , , , . Следовательно, соответствующий построенному многочлену многочлен имеет ровно корень на интервале .

Ответ. корень.