МОШ 2025, 10 класс, задача 5

Ответ: .

Решение. Обозначим точки пересечения биссектрис углов и с отрезком через и соответственно. Докажем, что

Из этого будет следовать решение задачи — сумма из условия разбивается на три пары углов с суммой (см. рисунок), то есть искомая сумма будет равна .

Способ 1. Окружность, построенная на как на диаметре, проходит через точки и , а биссектрисы вписанных углов и проходят через середину дуги , на которую они опираются; обозначим её через . Таким образом, — это точка пересечения прямых и .

Поскольку

то точки , , , лежат на одной окружности. Аналогично точки , , , лежат на одной окружности.

Тогда

что и требовалось.

Способ 2. Так как , то и , поэтому

Следовательно, прямоугольные треугольники и подобны по двум углам, поэтому

Как известно, треугольники и подобны треугольнику , а следовательно, подобны друг другу. Отсюда

Из равенств и следует, что

Воспользуемся ещё одним известным фактом: высота — это биссектриса угла . Из получаем, что треугольники и подобны по углу и отношению прилежащих сторон, откуда .

Тогда

что и требовалось доказать.

Способ 3. Пусть — точка, изогонально сопряжённая относительно треугольника . Так как

то точки и — соответствующие точки в подобных треугольниках и . Тогда , что и требовалось доказать.

Способ 4. Пусть и — точки пересечения описанных окружностей треугольников и с прямыми и соответственно. Так как четырёхугольник вписанный, то

Так как четырёхугольник вписанный, то

Таким образом, треугольники и подобны по двум углам. Поскольку четырёхугольник вписанный, то , поэтому

Таким образом, прямоугольные треугольники и подобны по двум углам.

На гипотенузах и подобных треугольников и построены соответствующим образом подобные треугольники и . Следовательно, полученные четырёхугольники и подобны. Тогда диагонали и образуют одинаковые углы с соответствующими сторонами и , то есть , что и требовалось доказать.

Способ 5. Продлим высоту и отметим на ней такие точки и , что и . Тогда в равнобедренном треугольнике внутренние углы при стороне равны половине внешнего угла , поэтому

Аналогично им равны и углы и . Следовательно, четырёхугольники и вписанные.

Равенство, которое мы хотим доказать, можно эквивалентно переписать в виде . Воспользовавшись доказанными вписанностями, получим

Таким образом, нужно доказать равенство углов и , что эквивалентно подобию прямоугольных треугольников и . Чтобы доказать это подобие, запишем отношение соответствующих сторон и воспользуемся равенствами и :

Последнее равенство верно, так как треугольники и подобны, что и требовалось.

Замечание для знатоков. Точки и возникают, если сделать естественное преобразование для треугольника — композицию инверсии с центром в точке радиуса и центральной симметрии в точке . При этом преобразовании вершины треугольника переходят в основания высот, а точки и — в точки и .

Способ 6. Введём обозначения для углов: , , , . Поскольку и меньше , то их равенство равносильно равенству их тангенсов, поэтому

Запишем теоремы синусов для треугольников и :

Разделив одно равенство на другое, получим

По свойству биссектрисы . Подставив и воспользовавшись теоремой синусов для треугольника , получим

Аналогично доказывается, что

то есть , что и требовалось.

Комментарий. Аналогично доказывается, что сумма углов, указанных на картинке, равна .