МОШ 2025, 9 класс, задача 5
У хозяйки есть кусок мяса, которым она хочет накормить трёх котиков. Раз в несколько секунд хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котиков на свой выбор, причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли она скормить котикам поровну мяса?
(А. Кушнир)
Ответ: да, может.
Решение. Пусть каждый отрезаемый кусочек составляет долю куска, от которого его отрезают. Тогда -й отрезанный кусочек составляет долю от изначального куска. Сократив на , получим, что задачу можно переформулировать следующим образом: для некоторого и натурального необходимо разбить числа на три группы с равными суммами.
Выберем в качестве корень уравнения
Он существует и принадлежит интервалу , потому что графики функций и пересекаются внутри единичного квадрата на координатной плоскости (см. рисунок).
Поскольку , то для любого натурального выполнено равенство . Тогда
Таким образом, для для и указанного числа можно разбить на три группы с равными суммами:
Комментарий 1. Существуют и другие разбиения:
Комментарий 2. Существуют примеры с другим значением . Например, если — корень уравнения , то
Комментарий 3. Для четырёх котиков также существует пример. Если — корень уравнения , то
Составителям задачи неизвестно, существуют ли примеры для пяти и более котиков.