МОШ 2024, 9 класс, задача 1

Действительные числа таковы, что

Докажите, что произведение каких-то двух чисел из равно произведению двух других.

(А. Доледенок, В. Ретинский)

Ответ

Решение 1. Перепишем условие в виде

Если числитель дробей равен нулю, то . В противном случае, если у равных дробей равны числители, то у них равны и знаменатели, то есть .

Решение 2. Пусть , . Если , то , поэтому далее будем считать, что . Обозначим значение левой и правой части равенства через . Тогда условие переписывается в виде

Рассмотрим функцию . Числа и являются корнями уравнения . Перепишем это уравнение в виде

Тогда по теореме Виета

Похожие задачи

МОШ 2021, 10 класс, задача 1

На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую — то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0? (М. Евдокимов)

Средняя

Алгебра

МОШ 2024, 11 класс, задача 1

У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны ln 2, ln 3, ln 4, ldots, ln 20, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах? (М. Евдокимов)

Средняя

Алгебра

МОШ 2023, 10 класс, задача 1

Про четыре целых числа a, b, c, d известно, что a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на 1. (А. Доледенок)

Средняя

Алгебра

МОШ 2023, 9 класс, задача 1

Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «+», «-», «×» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения (4-3) × (2+5)+1. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нес

Средняя

Алгебра