МОШ 2024, 9 класс, задача 1
Действительные числа таковы, что
Докажите, что произведение каких-то двух чисел из равно произведению двух других.
(А. Доледенок, В. Ретинский)
Решение 1. Перепишем условие в виде
Если числитель дробей равен нулю, то . В противном случае, если у равных дробей равны числители, то у них равны и знаменатели, то есть .
Решение 2. Пусть , . Если , то , поэтому далее будем считать, что . Обозначим значение левой и правой части равенства через . Тогда условие переписывается в виде
Рассмотрим функцию . Числа и являются корнями уравнения . Перепишем это уравнение в виде
Тогда по теореме Виета