МОШ 2024, 10 класс, задача 6
На каждой из карточек написано действительное число. Все чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из карточек называется неудачной, если для каждого натурального от до сумма чисел на верхних карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
(А. Кушнир)
Ответ
Ответ. .
Решение. Пример. Возьмём одну карточку с иррациональным числом и карточек с рациональными (например, ). Тогда в неудачной стопке карточка с иррациональным числом должна быть сверху, при этом остальные карточки можно расставить любым из способов, так как для любого число иррационально.
Оценка. Разобьём все перестановки карточек на групп, в каждой из которых одна стопка получается из другой циклической перестановкой (очевидно, внутри одной группы ровно перестановок). Достаточно показать, что внутри каждой группы будет хотя бы одна неудачная стопка.
Предположим, что нашлась группа без неудачных стопок. Её можно представить в виде круга, по которому расставлены карточки , тогда стопки из группы будут иметь вид . Начнём идти от карточки с числом по часовой стрелке до тех пор, пока сумма чисел по пройденной дуге не даст рациональное число. Далее начнём идти от до тех пор, пока сумма пройденных чисел не станет рациональной, и так далее. Так, совершив шагов, по принципу Дирихле мы начнём отсчитывать сумму от одной и той же карточки дважды, а значит, мы обернули круг целое число раз, получив в сумме рациональное число, следовательно, сумма всех чисел на самом деле рациональна — противоречие.