МОШ 2024, 10 класс, задача 4
Дан описанный четырёхугольник с тупым углом . Лучи и пересекаются в точке , а лучи и — в точке . Докажите, что , где и — радиусы вписанных окружностей треугольников и .
(Л. Шатунов)
Решение. Положим и — точки касания вписанных окружностей треугольников и со сторонами и соответственно, а и — точки касания вписанной окружности со сторонами и соответственно (см. рис.)
По свойству описанного четырёхугольника , поэтому . Из треугольников и имеем, что , а , откуда
так как . Заметим, что как отрезки касательных, а , ведь и — точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной , аналогично . Тогда .