МОШ 2024, 10 класс, задача 4

Дан описанный четырёхугольник с тупым углом . Лучи и пересекаются в точке , а лучи и — в точке . Докажите, что , где и — радиусы вписанных окружностей треугольников и .

(Л. Шатунов)

Ответ

Решение. Положим и — точки касания вписанных окружностей треугольников и со сторонами и соответственно, а и — точки касания вписанной окружности со сторонами и соответственно (см. рис.)

Рисунок к решению задачи 4

По свойству описанного четырёхугольника , поэтому . Из треугольников и имеем, что , а , откуда

так как . Заметим, что как отрезки касательных, а , ведь и — точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной , аналогично . Тогда .

Похожие задачи

МОШ 2024, 11 класс, задача 4

В остроугольном треугольнике ABC высоты AH_A, BH_B и CH_C пересекаются в точке H. Через точки, в которых окружность радиуса HH_A с центром H пересекает отрезки BH и CH, проведена прямая ell_A. Аналогично проведены прямые ell_B и ell_C

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 11 класс, задача 3

В треугольнике ABC высоты BE и CF пересекаются в точке H, точка M — середина стороны BC, а X — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники BMF и CME. Докажите, что точки X, M и H лежат на одной прямой. (И. Н. Михайлов)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2025, 11 класс, задача 4

Назовём подмножество A плоскости похожим на прямую, если для некоторой прямой ell той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие f:ellto A, что для всяких двух точек X, Y на прямой ell длина отрезка XY отличается от длины отрезка f(X)f(Y) не более, чем на 1. Верно ли, что любое под

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2020, 11 класс, задача 4

На стороне AC треугольника ABC взяли такую точку D, что угол BDC равен углу ABC. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD, если BC = 1?

Очень сложная

Планиметрия