МОШ 2024, 11 класс, задача 3
Докажите, что если при число целое, то оно -- точный квадрат.
(Т. А. Гарманова)
Ответ
Решение. Если число целое при , то оно чётное. Обозначим , . Тогда . Возводя это равенство в квадрат, получаем , откуда следует, что число чётное: , где . Тогда , или .
Поскольку числа и взаимно просты, следует рассмотреть два случая:
- , , где , ;
- , , где , .
В первом случае имеем , то есть даёт остаток 2 при делении на 3. Это невозможно, так как точный квадрат может давать при делении на 3 только остатки 0 или 1.
Во втором случае получаем -- точный квадрат, что и требовалось доказать.