МОШ 2026, 10 класс, задача 2

Сложная
Алгебра
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2026, 10 класс

Дано квадратное уравнение с целыми ненулевыми коэффициентами , и , имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на , то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: да, может.

Решение. Обозначим квадратные трёхчлены , и . Если будет выполнено равенство , то единица будет корнем всех трёх квадратных трёхчленов , и . Теперь нужно, чтобы уравнение также имело целый корень. Достаточно выполнить условие , тогда двойка будет корнем. Остаётся выбрать подходящее решение системы из двух линейных уравнений. Например, можно взять , и .

Похожие задачи

МОШ 2022, 11 класс, задача 5

Таня последовательно выписывала числа вида n7-1 для натуральных чисел n=2,3,ldots и заметила, что при n=8 полученное число делится на 337. А при каком наименьшем n>1 она получит число, делящееся на 2022? (Т. А. Гарманова)
Сложная
Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 2

Существует ли функция f, определённая на отрезке [-1; 1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству 2f(cos x)=f(sin x)+sin x? (Д. В. Горяшин)
Сложная
Алгебра

МОШ 2023, 10 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)
Сложная
Алгебра

МОШ 2022, 9 класс, задача 1

У каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n,..., 9n выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном n среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных? (А. Толпыго)
Сложная
Алгебра