МОШ 2026, 10 класс, задача 2
Дано квадратное уравнение с целыми ненулевыми коэффициентами , и , имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на , то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?
Ответ
Ответ: да, может.
Решение. Обозначим квадратные трёхчлены , и . Если будет выполнено равенство , то единица будет корнем всех трёх квадратных трёхчленов , и . Теперь нужно, чтобы уравнение также имело целый корень. Достаточно выполнить условие , тогда двойка будет корнем. Остаётся выбрать подходящее решение системы из двух линейных уравнений. Например, можно взять , и .