МОШ 2021, 11 класс, задача 2
Существует ли функция , определённая на отрезке , которая при всех действительных удовлетворяет равенству ?
(Д. В. Горяшин)
Ответ: нет.
Решение. Пусть такая функция существует. Тогда, подставляя вместо в данное равенство, получаем
Следовательно, при всех , поэтому при всех , т. е. функция чётная.
С другой стороны, подставляя в исходное равенство вместо , получим
а поскольку чётная, то , поэтому
Вычитая это равенство из исходного, получаем при всех . Противоречие.
Комментарий. Отметим, что если равенство имеет вид
то удовлетворяющая ему при всех функция существует, и найти её можно следующим образом. Подставляя вместо , получаем
откуда находим
Таким образом,
Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному равенству при всех действительных .